Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(h\) im Punkt \((1|h(1))\,\).
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3b
\[h(x) = -\ln x + 3\,; \quad D_h = \mathbb R^+\]
\[P\,(1|h(1))\]
1. Lösungsansatz: Tangentengleichung
Gleichung einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\;(x_0|f(x_0)) \):
\[y = f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0})\]
\[T\,\colon y = h'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + h(x_{0})\]
\[x_0 = 1\]
\[h(x_0) = h(1) = - \ln 1 + 3 = 3\]
Erste Ableitung \(h'\) bilden:
Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
\[f(x) = \ln x \enspace (x > 0) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[h(x) = -\ln x + 3 \quad \Longrightarrow \quad h'(x) = -\frac{1}{x}\]
\[h'(x_0) = h'(1) = -\frac{1}{1} = -1\]
\[\begin{align*} y &= h'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + h(x_{0}) \\[0.8em] &= (-1) \cdot (x - 1) + 3 \\[0.8em] &= -x + 4 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + 4\]
2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[T\,\colon\,y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad P\,(1|h(1))\]
Tangentensteigung bestimmen:
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\(\displaystyle h'(x) = -\frac{1}{x}\,\) (siehe oben)
\[m_{T} = h'(1) = -\frac{1}{1} = -1 \]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:
\[T\,\colon\,y = -x + t\]
\[h(1) = -\ln 1 + 3 = 3 \quad \Longrightarrow \quad P\,(1|3)\]
\[\begin{align*} P \in T\,\colon\, & & 3 &= (-1) \cdot 1 + t \\[0.8em] & & 3 &= -1+ t & &| + 1 \\[0.8em] & & 4 &= t \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + 4\]
Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(h\) im Punkt \((1|3)\)
