Die Abbildung zeigt in einem Koordinatensystem modellhaft eine 7 m breite Theaterkulisse, Die linke Seitenwand liegt im Modell in der \(xz\)-Ebene, die rechte Seitenwand ist dazu parallel. Ein auf der Bühne stehender Gegenstand wird von einer Lampe beleuchtet. Die Lampe wird im Modell durch den Punkt \(L(4|0|5)\) dargestellt, die Spitze des Gegenstands durch den Punkt \(S(1|6|2)\).
Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Schatten der Spitze auf der rechten Seitenwand liegt.
(5 BE)
Lösung zu Aufgabe A4
Es ist zu beurteilen, ob die Gerade \(\textcolor{#e9b509}{LS}\) (Lichtstrahl) durch den Punkt \(L\) (Lampe) und den Punkt \(S\) (Spitze des Gegenstandes) das Rechteck, das im Modell die rechte Seitenwand der Theaterkulisse beschreibt, im Punkt \(P\) (Schatten von S) schneidet.
Vorgehensweise
1. Gleichung der Gerade \(\textcolor{#e9b509}{LS}\) in Parameterform aufstellen
2. Schnittpunkt \(P\) der Gerade \(\textcolor{#e9b509}{LS}\) und der Ebene ermitteln, in der im Modell die rechte Seitenwand liegt.
3. \(\textcolor{#cc071e}{x}\)- und \(\textcolor{#0087c1}{z}\)-Koordinate von \(P\) mit der Lage der rechten Seitenwand vergleichen.
Gleichung der Gerade \(\textcolor{#e9b509}{\boldsymbol{LS}}\) in Parameterform
\(\textcolor{#e9b509}{L(4|0|5)}\), \(S(1|6|2)\)
Gleichung einer Gerade/Strecke in Parameterform
Jede Gerade \(g\) kann durch eine Gleichung in der sogenannten Parameterform \(g \colon \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\) mit dem Parameter \(\lambda \in \mathbb R\) beschrieben werden. Dabei ist \(\overrightarrow{OA}\) der Ortsvektor eines Aufpunkts (Stützvektor) und \(\overrightarrow{u}\) ein Richtungsvektor der Gerade \(g\).
Punkt-Richtung-Form
Ein Punkt \(\textcolor{#0087c1}{A} \in g\) und ein Richtungsvektor \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}}\,\) legen eine Gerade \(g\) fest.
\[\qquad \qquad \qquad g \colon \overrightarrow{x} = \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{OA}} + \lambda \cdot \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}}\]
Zwei-Punkt-Form
Zwei Punkte \(\textcolor{#0087c1}{A} \in g\) und \(\textcolor{#0087c1}{B} \in g\) legen eine Gerade \(g\) fest.
\[\qquad \qquad \qquad g \colon \overrightarrow{x} = \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{OA}} + \lambda \cdot \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB}}\]
Für \(\boldsymbol{\lambda \in [0;1]}\) beschreibt die Gleichung \(\overrightarrow{x} = \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{OA}} + \lambda \cdot \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB}}\) die Strecke \(\boldsymbol{\overline{AB}}\).
\[\textcolor{#e9b509}{LS}\colon \, \overrightarrow{x} = \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{OL}} + \lambda \cdot \overrightarrow{LS}, \; \lambda \in \mathbb R\]
\[\overrightarrow{LS} = \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OL} = \begin{pmatrix} 1\\6\\2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4\\0\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\6\\-3 \end{pmatrix}\]
\[\textcolor{#e9b509}{LS}\colon \, \overrightarrow{x} = \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 4\\0\\5 \end{pmatrix}} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3\\6\\-3 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\]
Schnittpunkt \(\boldsymbol{P}\) ermitteln
Die rechte Seitenwand liegt im Modell in der Ebene mit der Gleichung \(y = 7\).
Für die Berechnung der Koordinaten von \(P\), wird die \(y\)-Koordinate der Gleichung der Gerade \(\textcolor{#e9b509}{LS}\) in die Ebenengleichung eingesetzt und nach dem Parameter \(\lambda\) aufgelöst.
\[\Rightarrow \; 6\lambda = 7 \; \Leftrightarrow \; \lambda = \frac{7}{6}\]
\(\lambda = \frac{7}{6}\) in die Gleichung der Gerade \(\textcolor{#e9b509}{LS}\) eingesetzt, ergibt den Ortsvektor des Punktes \(P\).
\[P \in \textcolor{#e9b509}{LS} \colon \, \overrightarrow{OP} = \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 4\\0\\5 \end{pmatrix}} + \frac{7}{6} \cdot \begin{pmatrix} -3\\6\\-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5\\7\\1{,}5 \end{pmatrix}\]
\(\textcolor{#cc071e}{\boldsymbol{x}}\)- und \(\textcolor{#0087c1}{\boldsymbol{z}}\)-Koordinate von \(\boldsymbol{P}\) bewerten
\(P(\textcolor{#cc071e}{0{,}5}|7|\textcolor{#0087c1}{1{,}5})\)
Mit \(\textcolor{#cc071e}{0 < 0{,}5 < 4}\) und \(\textcolor{#0087c1}{0 < 1{,}5 < 3}\) liegt der Punkt \(P\) auf dem Rechteck, das im Modell die rechte Seitenwand beschreibt.
Somit liegt der Schatten der Spitze auf der rechten Seitenwand.
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 2 Geometrie, 3.4.2 Lagebeziehungen von Gerade und Ebene)
