Abiturlösungen Mathematik Bayern Beispiel-Abiturprüfung 2026 Prüfungsteil B Aufgabe B2 (Analysis)
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Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto -\frac{8}{27}x^3+ax^2\) mit \(a \in \mathbb R\). Die Nullstellen von \(f\) sind \(0\) und \(\frac{9}{4}\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\).
Bestimmen Sie rechnerisch den Wert von \(a\)
(zur Kontrolle: \(a = \frac{2}{3}\))
(2 BE)
Abb. 1
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Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im ersten Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.
(3 BE)
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Die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(\big(\frac{9}{4}\big|0\big)\) wird mit \(t\) bezeichnet.
Weisen Sie nach, dass \(t\) durch den Punkt \(\big(0 \big| \frac{27}{8} \big)\) verläuft. Begründen Sie, dass der Inhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im ersten Quadranten mit \(t\) und der \(y\)-Achse einschließt, kleiner als \(\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{27}{8}\) ist.
(5 BE)
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Eine in \(\mathbb R\) definierte ganzrationale Funktion \(g\) hat die folgenden Eigenschaften:
- \(t\) ist Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \(\big(\frac{9}{4} \big| 0\big)\).
- Der Graph von \(g\) verläuft für \(0 < x < \frac{9}{4}\) oberhalb von \(t\).
Geben Sie einen möglichen Term von \(g\) an.
(3 BE)
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In einer Messstation wird seit 1958 kontinuierlich die CO₂-Konzentration in der Luft gemessen, die in ppm (parts per million) angegeben wird. Die Tabelle gibt für die Jahre 1960, 1985 und 2010 jeweils den jährlichen Durchschnittswert der Messwerte an.
Die jährlichen Durchschnittswerte haben sich im Zeitraum von 1960 bis 1985 in guter Näherung exponentiell entwickelt. Ermitteln Sie die zugehörige Wachstumsrate in Prozent.
(zur Kontrolle: etwa 0,35 %)
(3 BE)
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Berechnen Sie unter der Annahme, dass sich das exponentielle Wachstum nach 1985 in gleicher Weise fortgesetzt hat, den jährlichen Durchschnittswert für das Jahr 2010. Vergleichen Sie diesen Wert mit dem zugehörigen Wert aus der Tabelle und formulieren Sie das Ergebnis Ihres Vergleichs im Sachzusammenhang.
(3 BE)
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Innerhalb eines Jahres schwankt die CO₂-Konzentration. Für einen bestimmten Zeitraum von acht Monaten lassen sich die gemessenen Werte modellhaft durch die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto 3{,}3 \cdot \sin{\big( \frac{\pi}{6}x \big)} + 406\) beschreiben. Dabei ist \(x\) die in diesem Zeitraum vergangene Zeit in Monaten und \(k(x)\) die CO₂-Konzentration in ppm. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass jeder Monat 30 Tage hat.
Geben Sie an, wie der Graph von \(k\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(s \colon x \mapsto \sin{(x)}\) hervorgeht. Beurteilen Sie, ob die Reihenfolge der einzelnen Schritte von Bedeutung ist.
(5 BE)
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Der durchschnittliche Funktionswert einer Funktion \(h\) im Intervall \([a;b]\) kann mithilfe der folgenden Überlegung bestimmt werden:
Schließt der Graph von \(h\) mit der \(x\)-Achse und den Geraden mit den Gleichungen \(x = a\) und \(x = b\) ein Flächenstück ein, so gibt es ein Rechteck der Länge \(b - a\), das den gleichen Flächeninhalt wie das Flächenstück hat (vgl. Abbildung 2). Die Breite dieses Rechtecks stimmt mit dem Betrag des durchschnittlichen Funktionswerts von \(h\) im Intervall \([a;b]\) überein.
Bestimmen Sie für den betrachteten Zeitraum von acht Monaten die prozentuale Abweichung des Maximums der CO₂-Konzentration von der durchschnittlichen CO₂-Konzentration.
(6 BE)
