Nach einer statistischen Erhebung eines Fahrradmagazins tritt auf einer 50 km langen, mit dem Fahrrad zurückgelegten Strecke mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,6 % eine Reifenpanne auf.
Ermitteln Sie auf 50 km genau, ab welcher mit dem Fahrrad zurückgelegten Gesamtstrecke unter diesen Voraussetzungen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Reifenpanne auftritt, mehr als 90 % beträgt.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2
Die Aufgabenstellung formuliert eine „3-Mindestens-Aufgabe" in der Variante „mindestens 1 Treffer", die indirekt nach der Länge \(n\) der Bernoulli-Kette fragt.
Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment.
Ein betrachtetes Ereignis \(A\) wird als Treffer mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) und dessen Gegenereignis \(\overline{A}\) als Niete mit der Wahrscheinlichkeit \(q = 1- p\) bezeichnet.
Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal hintereinander ausgeführt, und ist dabei die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bei jeder Durchführung des Experiments konstant, entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit dem Parameter \(p\).
„... tritt auf einer 50 km langen, mit dem Fahrrad zurückgelegten Strecke mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,6 % eine Reifenpanne auf. Ermitteln Sie auf 50 km genau, ab welcher mit dem Fahrrad zurückgelegten Gesamtstrecke ... die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Reifenpanne auftritt, mehr als 90 % beträgt."
Binomialverteilte Zufallsgröße
Eine Zufallsgröße \(X\), die bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0;1;\dots;n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer \(B(n;p)\)-verteilten Zufallsgröße \(X\) heißt Binomialverteilung.
Es gilt: \(\displaystyle P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}\) mit \(k = \{0;1;\dots;n\}\) (Bernoulli-Formel)*
Kumulative Verteilungsfunktion einer \(\boldsymbol{B(n;p)}\)-verteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\(F_p^n(k) = P_p^n(X \leq k) = \sum \limits_{i\,=\,0}^k B(n;p;i)\) (von \(X = 0\) bis \(X = k\) aufsummierte Einzelwahrscheinlichkeiten \(B(n;p;i)\))*
* Kann mit dem wissenschaftlichen Taschenrechner (WTR) oder ggf. mit dem Tafelwerk (TW) bestimmt werden.
Betrachtetes Ereignis: „Auf einer 50 km langen, mit dem Fahrrad zurückgelegten Strecke, tritt eine Reifenpanne auf."
\(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}016}\) (Trefferwahrscheinlichkeit)
\(\textcolor{#0087c1}{n}\): Anzahl der 50-km-Abschnitte (Länge der Bernoullikette)
Zufallsgröße \(X\): Beschreibt die Anzahl der Reifenpannen (wird eingeführt).
Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt nach \(B(\textcolor{#0087c1}{n};\textcolor{#cc071e}{0{,}016})\).
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „kein Treffer".
\[\underbrace{P(X \geq 1)}_{\text{mind. 1 Treffer}} = \underbrace{1 - \underbrace{P(X = 0)}_{\text{kein Treffer}}}_{\text{nicht kein Treffer}}\]
\[\begin{align*}\underbrace{P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}016}}^{\textcolor{#0087c1}{n}}(\textcolor{#e9b509}{X \geq 1})}_{\textcolor{#e9b509}{\text{mind. 1 Reifenpanne}}} &\textcolor{#89ba17}{>} \textcolor{#89ba17}{0{,}9} &&|\; \text{Gegenereignis} \; \textcolor{#e9b509}{X = 0} \; \text{betrachten} \\[0.8em] \underbrace{1 - \underbrace{P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}016}}^{\textcolor{#0087c1}{n}}(\textcolor{#e9b509}{X = 0})}_{\textcolor{#e9b509}{\text{keine Reifenpanne}}}}_{\text{nicht }\textcolor{#e9b509}{\text{keine Reifenpanne}}} \;&\textcolor{#89ba17}{>} \textcolor{#89ba17}{0{,}9} &&| - 1 \\[0.8em] - P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}016}}^{\textcolor{#0087c1}{n}}(\textcolor{#e9b509}{X = 0}) &> -0{,}1 &&| \cdot (-1)\; \text{Relationszeichen kehrt sich um!} \\[0.8em] P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}016}}^{\textcolor{#0087c1}{n}}(\textcolor{#e9b509}{X = 0}) &< 0{,}1&&| \; \text{Bernoulli-Formel anwenden} \\[0.8em] \binom{\textcolor{#0087c1}{n}}{\textcolor{#e9b509}{0}} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}016}^{\textcolor{#e9b509}{0}} \cdot (1 - \textcolor{#cc071e}{0{,}016})^{\textcolor{#0087c1}{n} \,-\,\textcolor{#e9b509}{0}} &<0{,}1&&| \; \binom{n}{0} = 1; \; a^0 = 1 \\[0.8em] 0{,}984^{\textcolor{#0087c1}{n}} &< 0{,}1 &&| \; \text{Logarithmieren, z.B.}\; \ln{(\dots)} \\[0.8em] \ln{0{,}984^{\textcolor{#0087c1}{n}}} &< \ln{0{,}1} &&| \; \log_a{b^r} = r \cdot \log_a{b} \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{n} \cdot \ln{0{,}984} &< \ln{0{,}1} &&| : \ln{0{,}984}\; \text{Relationszeichen kehrt sich um!} \;(\ln{x} < 0\; \text{für}\;0 < x < 1) \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{n} &> \frac{\ln{0{,}1}}{\ln{0{,}984}} \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{n} &\gtrapprox 142{,}8 &&| \; n \in \mathbb N \\[0.8em] \Rightarrow \textcolor{#0087c1}{n} &= \textcolor{#0087c1}{143} \end{align*}\]
Zurückgelegte Gesamtstrecke: \(\textcolor{#0087c1}{143} \cdot 50\,\textsf{km} = 7150\,\textsf{km}\)
Ab einer zurückgelegten Gesamtstrecke von 7150 km, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Reifenpanne auftritt, mehr als 90 %.
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 2 Stochastik, 2.5.6 Bestimmung der Parameter \(n\) und \(p\) („3-Mindestens-Aufgaben"))
