Bei der Weinlese steht ein Arbeiter auf dem Hang an einer Stelle, die durch den Punkt \(P(5{,}75|-2{,}5|6)\) beschrieben wird. Er stellt sich dort auf seine Zehenspitzen und versucht, aus einer Blickhöhe von zwei Metern die Burg zu sehen. Beurteilen Sie, ob der Hang dabei die freie Sicht auf die höchste Stelle der vorderen Fassade der Burg verhindert.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe f
Standpunkt \(P(5{,}75|-2{,}5|6)\) und Blickhöhe \(Q(5{,}75|-2{,}5|6{,}2)\) des Arbeiters (2 m entsprechen 0,2 Längeneinheiten)
Der Arbeiter hat freie Sicht über den Hang (Trapez \(ABCD\)) auf die höchste Stelle \(S\) der vorderen Burgfassade, wenn im Modell der Schnittpunkt \(\textcolor{#cc071e}{Z}\) der Gerade \(\textcolor{#0087c1}{QS}\) und der Ebene \(\textcolor{#cc071e}{H}\) oberhalb des Plateaus (Ebene \(x_3 = 8\), vgl. Teilaufgabe d) liegt.
Es ist also zu prüfen, ob die \(x_3\)-Koordinate des Schnittpunkts \(Z\) größer oder kleiner als \(8\) ist.
Vorgehensweise
- Gleichung der Gerade \(\textcolor{#0087c1}{QS}\) aufstellen.
- \(x_3\)-Koordinate des Schnittpunkts \(\textcolor{#cc071e}{Z}\) der Gerade \(\textcolor{#0087c1}{QS}\) und der Ebene \(\textcolor{#cc071e}{H}\) berechnen.
Gleichung der Gerade \(\textcolor{#0087c1}{QS}\) in Parameterform:
\(Q(5{,}75|-2{,}5|6{,}2)\), \(S(-6|2|12)\)
Gleichung einer Gerade/Strecke in Parameterform
Jede Gerade \(g\) kann durch eine Gleichung in der sogenannten Parameterform \(g \colon \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\) mit dem Parameter \(\lambda \in \mathbb R\) beschrieben werden. Dabei ist \(\overrightarrow{OA}\) der Ortsvektor eines Aufpunkts (Stützvektor) und \(\overrightarrow{u}\) ein Richtungsvektor der Gerade \(g\).
Punkt-Richtung-Form
Ein Punkt \(\textcolor{#0087c1}{A} \in g\) und ein Richtungsvektor \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}}\,\) legen eine Gerade \(g\) fest.
\[\qquad \qquad \qquad g \colon \overrightarrow{x} = \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{OA}} + \lambda \cdot \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}}\]
Zwei-Punkt-Form
Zwei Punkte \(\textcolor{#0087c1}{A} \in g\) und \(\textcolor{#0087c1}{B} \in g\) legen eine Gerade \(g\) fest.
\[\qquad \qquad \qquad g \colon \overrightarrow{x} = \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{OA}} + \lambda \cdot \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB}}\]
Für \(\boldsymbol{\lambda \in [0;1]}\) beschreibt die Gleichung \(\overrightarrow{x} = \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{OA}} + \lambda \cdot \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB}}\) die Strecke \(\boldsymbol{\overline{AB}}\).
\[\overrightarrow{QS} = \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OQ} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5{,}75 \\ -2{,}5 \\ 6{,}2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11{,}75 \\ 4{,}5 \\ 5{,}8 \end{pmatrix}\]
\[\textcolor{#0087c1}{QS} \colon \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OS} + \lambda \cdot \overrightarrow{QS}, \; \lambda \in \mathbb R\]
\[\textcolor{#0087c1}{QS} \colon \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 12 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -11{,}75 \\ 4{,}5 \\ 5{,}8 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\]
\(x_3\)-Koordinate des Schnittpunkts \(\textcolor{#cc071e}{Z}\) der Gerade \(\textcolor{#0087c1}{QS}\) und der Ebene \(\textcolor{#cc071e}{H}\) berechnen:
\[\textcolor{#0087c1}{QS} \colon \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 12 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -11{,}75 \\ 4{,}5 \\ 5{,}8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{#0087c1}{-6 -11{,}75\lambda} \\ \textcolor{#0087c1}{2 + 4{,}5\lambda} \\ \textcolor{#0087c1}{12 + 5{,}8\mu}\end{pmatrix}\]
Koordinaten von \(\textcolor{#0087c1}{QS}\) einsetzen in \(\textcolor{#cc071e}{H} \colon 8x_1 + 15x_3 - 136 =0\).
\[\begin{align*}\textcolor{#0087c1}{QS} \cap \textcolor{#cc071e}{H} \colon 8 \cdot (\textcolor{#0087c1}{-6 -11{,}75\lambda}) + 15 \cdot (\textcolor{#0087c1}{12 + 5{,}8\lambda}) - 136 &= 0 \\[0.8em] -48 - 94\lambda + 180 + 87\lambda - 136 &= 0 \\[0.8em] - 7\lambda - 4 &= 0 &&| + 4 \\[0.8em] - 7\lambda &= 4 &&| : (-7) \\[0.8em] \lambda &= -\frac{4}{7} \end{align*}\]
\(\lambda = -\frac{4}{7}\) in die Gleichung von \(\textcolor{#0087c1}{QS}\) eingesetzt, ergibt den Ortsvektor von \(\textcolor{#cc071e}{Z}\).
\[\textcolor{#cc071e}{Z} \in \textcolor{#0087c1}{QS}\colon \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{OZ}} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 12 \end{pmatrix} - \frac{4}{7} \cdot \begin{pmatrix} -11{,}75 \\ 4{,}5 \\ 5{,}8 \end{pmatrix}\]
\(x_3\)-Koordinate von \(\textcolor{#cc071e}{Z}\):
\[12 - \frac{4}{7} \cdot 5{,}8 = \frac{304}{35} = 8\frac{24}{35} > 8\]
Somit hat der Arbeiter freie Sicht, weil sein Blick auf die höchste Stelle der vorderen Burgfassade oberhalb der Kante \(\overline{CD}\) verläuft, die im Modell den Hang und das Plateau verbindet.
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 3 Geometrie, 3.3.1 Geradengleichung in Parameterform, 3.4.2 Lagebeziehungen von Gerade und Ebene)
