Abiturlösungen Mathematik Bayern Beispiel-Abiturprüfung 2026 Prüfungsteil B Aufgabe B6 (Geometrie)
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- Kategorie: Aufgabe B6 (Geometrie)
Gegeben sind die Punkte \(A(5|-5|12)\), \(B(5|5|12)\) und \(C(-5|5|12)\).
Begründen Sie, dass \(A\), \(B\) und \(C\) Eckpunkte eines Quadrats sein können, und geben Sie die Koordinaten des vierten Eckpunkts \(D\) dieses Quadrats an.
(4 BE)
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Im Folgenden wird die Doppelpyramide in Abbildung 1 betrachtet. Die beiden Teilpyramiden \(ABCDS\) und \(ABCDT\) sind gleich hoch. Der Punkt \(T\) liegt im Koordinatenursprung, der Punkt \(S\) ebenfalls auf der \(z\)-Achse. Die Seitenfläche \(BCT\) liegt in einer Ebene \(E\).
Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform.
(zur Kontrolle: \(E \colon 12y-5z= 0\))
Abb. 1
(3 BE)
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Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Seitenfläche \(BCT\) mit der Fläche \(ABCD\) einschließt.
(3 BE)
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\(E\) gehört zur Schar der Ebenen \(E_k \colon ky - 5z = 5k - 60\) mit \(k \in \mathbb R\). Die Strecke \(\overline{BC}\) liegt auf jeder Ebene dieser Schar.
Ermitteln Sie diejenigen Werte von \(k\), für die \(E_k\) mit der Seitenfläche \(ADS\) mindestens einen Punkt gemeinsam hat.
(4 BE)
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Die Seitenfläche \(ADT\) liegt in der Ebene \(F\). Geben Sie einen Normalenvektor von \(F\) an und begründen Sie Ihre Angabe, ohne die Koordinaten von \(A\) und \(D\) zu verwenden. Bestimmen Sie denjenigen Wert von \(k\), für den \(E_k\) senkrecht zu \(F\) steht.
(4 BE)
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Die Doppelpyramide wird so um die \(x\)-Achse gedreht, dass die Seitenfläche \(BCT\) in eine Fläche übergeht, die in der \(xy\)-Ebene liegt, und der Punkt \(S\) in einen Punkt \(S'\), der eine positive \(y\)-Koordinate hat. Abbildung 2 zeigt jeweils einen Längsschnitt der Doppelpyramide durch die \(yz\)-Ebene vor und nach dieser Drehung.
Begründen Sie anhand geeigneter Eintragungen in Abbildung 2, dass die \(y\)-Koordinate von \(S'\) den Wert \(24 \cdot \sin{\varphi}\) hat, wobei \(\varphi\) die in Aufgabe c bestimmte Winkelgröße ist.
Abb. 2
(2 BE)
