Die Seitenfläche \(ADT\) liegt in der Ebene \(F\). Geben Sie einen Normalenvektor von \(F\) an und begründen Sie Ihre Angabe, ohne die Koordinaten von \(A\) und \(D\) zu verwenden. Bestimmen Sie denjenigen Wert von \(k\), für den \(E_k\) senkrecht zu \(F\) steht.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe e
Normalenvektor von \(F\)
Die Ebene \(\textcolor{#0087c1}{F}\) entsteht durch Spiegelung der Ebene \(\textcolor{#cc071e}{E}\) an der \(xz\)-Ebene. Somit ergibt sich ein Normalenvektor \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}_F}\) der Ebene \(\textcolor{#0087c1}{F}\) aus einem Normalenvektor \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{n}_E}\) der Ebene \(\textcolor{#cc071e}{E}\) durch Änderung des Vorzeichens der \(y\)-Koordinate.
\(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{n}_E = \begin{pmatrix} 0\\12\\-5 \end{pmatrix}} \Rightarrow \; \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}_F = \begin{pmatrix} 0\\-12\\-5 \end{pmatrix}}\) (vgl. Teilaufgabe b)
Wert von \(k\), für den \(E_k\) senkrecht zu \(F\) seht
\(E_k\) ist senkrecht zu \(F\), wenn die Normalenvektoren der Ebenen zueinander senkrecht sind. Hierfür muss das Skalarprodukt der Normalenvektoren gleich null sein.
Anwendung des Skalarprodukts
Zueinander senkrechte (orthogonale) Vektoren
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) sind genau dann zueinander senkrecht (orthogonal), wenn deren Skalarprodukt null ist.
\[\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{a}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{b}} = 0 \; \Leftrightarrow \; \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{a}} \perp \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{b}}\]
\[E_k \perp \textcolor{#0087c1}{F}\;\Leftrightarrow \; \overrightarrow{n}_k \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}_F} = 0\]
\[E_k \colon ky - 5z = 5k - 60 \; \Rightarrow \; \overrightarrow{n}_k = \begin{pmatrix} 0\\k\\-5 \end{pmatrix}, \; k \in \mathbb R\]
\[\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}_F = \begin{pmatrix} 0\\-12\\-5 \end{pmatrix}}\]
\[\begin{align*} \overrightarrow{n}_k \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}_F} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} 0\\k\\-5 \end{pmatrix} \circ \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 0\\-12\\-5 \end{pmatrix}} &= 0 \\[0.8em] 0 \cdot \textcolor{#0087c1}{0} + k \cdot (\textcolor{#0087c1}{-12}) + (-5) \cdot (\textcolor{#0087c1}{-5}) &= 0 \\[0.8em] -12k + 25 &= 0 &&| -25 \\[0.8em] -12k &= -25 &&| :(-12) \\[0.8em] k &= \frac{25}{12}\end{align*}\]
Für \(k = \frac{25}{12}\) ist \(E_{\frac{25}{12}}\) senkrecht zu \(F\).
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 3 Geometrie, 3.2.2 Skalarprodukt zweier Vektoren)
