Beispielaufgabe

 

 

Die Abbildung zeigt die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f \colon x \mapsto 2e^{0{,}5x} - 2\) und \(g \colon x \mapsto -e^{0{,}5x}\).

a) Zeigen Sie rechnerisch, dass es keine Stelle \(x \in \mathbb R\) gibt, an der die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) die gleiche Steigung besitzen.

b) Ermitteln Sie diejenige Stelle \(x_{0}\), an der die Tangenten an die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) senkrecht zueinander sind.

c) Die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) schneiden sich im Punkt \(S\). Berechnen Sie den Schnittwinkel der Graphen in diesem Punkt.

 

\[f(x) = 2e^{0{,}5x} - 2; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[g(x) = -e^{0{,}5x}; \; D_{g} = \mathbb R\]

 

a) Nachweis, dass es keine Stelle gleicher Steigung von \(G_{f}\) und \(G_{g}\) gibt

Unter der Steigung eines Funktionsgraphen versteht man die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an einer betrachteten Stelle. Die Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion wird durch die Ableitungsfunktion beschrieben (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung). Folglich ist zu zeigen, dass die Gleichung \(f'(x) = g'(x)\) in \(\mathbb R\) keine Lösung hat.

Für eine alternative Argumentation bietet sich das Monotoniekriterium an (vgl. Abiturskript - 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte, vgl. Merkhilfe).

 

Erste Ableitung \(f'\) und \(g'\) bilden:

Die Ableitungen der Funktionsterme \(f(x)\) und \(g(x)\) können mithilfe der Faktorregel, der Summenregel, der Ableitung der Natürlichen Exponentialfunktion und der Kettenregel erfolgen (vgl. Abiturskript - 1.5.2 Ableitungsregeln).

 

\[f(x) = 2e^{0{,}5x} - 2\]

 

\[f'(x) = 2 \cdot e^{0{,}5x} \cdot 0{,}5 - 0 = e^{0{,}5x}\]

 

\[g(x) = -e^{0{,}5x}\]

 

\[g'(x) = -e^{0{,}5x} \cdot 0{,}5 = -0{,}5e^{0{,}5x}\]

 

Nachweisen, dass die Gleichung \(f'(x) = g'(x)\) in \(\mathbb R\) keine Lösung hat:

 

\[\begin{align*}f'(x) &= g'(x) \\[0.8em] e^{0{,}5x} &= -0{,}5e^{0{,}5x} & &| : e^{0{,}5x} \\[0.8em] 1 &= -0{,}5 \quad (\text{f}) \end{align*}\]

 

Schlussfolgerung:

Es gibt keine Stelle \(x \in \mathbb R\), an der die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) die gleiche Steigung besitzen.

 

Alternative mithilfe des Monotoniekriteriums (vgl. Abiturskript - 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte, vgl. Merkhilfe):

 

\[f'(x) = \underbrace{e^{0{,}5x}}_{>\, 0}; \enspace g'(x) = -0{,}5 \cdot \underbrace{e^{0{,}5x}}_{> \, 0}\]

(vgl. Abiturskript - 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln, Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion)

 

\(f'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb R \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) ist in \(\mathbb R\) streng monoton steigend.

\(g'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb R \quad \Longrightarrow \quad G_{g}\) ist in \(\mathbb R\) streng monoton fallend.

 

Schlussfolgerung:

Es gibt keine Stelle \(x \in \mathbb R\), an der die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) die gleiche Steigung besitzen.

 

b) Stelle \(x_{0}\), an der die Tangenten an \(G_{f}\) und \(G_{g}\) senkrecht zueinander sind

An der gesuchten Stelle \(x_{0}\) muss die Bedingung \(f'(x_{0}) = -\dfrac{1}{g'(x_{0})}\) gelten (vgl. 1.5.9 Seite 3 - Stelle mit orthogonalen Tangenten zweier Funktionsgraphen).

 

\[f'(x) = e^{0{,}5x}; \enspace g'(x) = -0{,}5e^{0{,}5x}\]

 

\[\begin{align*} f'(x) &= -\frac{1}{g'(x)} \\[0.8em] e^{0{,}5x} &= -\frac{1}{-0{,}5e^{0{,}5x}} \\[0.8em] e^{0{,}5x} &= \frac{2}{e^{0{,}5x}} & &| \cdot e^{0{,}5x} \\[0.8em] e^{0{,}5x} \cdot e^{0{,}5x} &= 2 & &| \; a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\[0.8em] e^{x} &= 2 & &| \: \ln(\dots) \; \text{Logarithmieren} \\[0.8em] \ln\left( e^{x} \right) &= \ln{2} & &| \; \ln\left( e^{x} \right) = x \enspace \left( \text{allg.:} \; \log_{a}\left( a^{x} \right) = x\right) \\[0.8em] x &= \ln{2} \end{align*}\]

 

An der Stelle \(x_{0} = \ln{2}\) sind die Tangente \(T_{f}\) an den Graphen der Funktion \(f\) und die Tangente \(T_{g}\) an den Graphen der Funktion \(g\) zueinander senkrecht (orthogonal).

 

Stelle \(x_{0} = \ln{2}\), an der die Tangente \(T_{f}\) an den Graphen der Funktion \(f \colon x \mapsto 2e^{0{,}5} - 2\) und die Tangente \(T_{g}\) an den Graphen der Funktion \(g \colon x \mapsto -e^{0{,}5x}\) zueinander senkrecht sind.

 

c) Schnittwinkel der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) im Schnittpunkt \(S\)

 

Schnittwinkel \(\varphi\) der Graphen der Funktionen \(f\) und \(G\) im Schnittpunkt \(S\)

 

Der Schnittwinkel \(\varphi\) der Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) im Schnittpunkt \(S\) entspricht dem spitzen Winkel, den die Tangente \(T_{f}\) an den Graphen der Funktion \(f\) und die Tangente \(T_{g}\) an den Graphen der Funktion \(G\) an der Schnittstelle \(x_{S}\) einschließen.

 

Schnittstelle \(x_{S}\) von \(G_{f}\) und \(G_{g}\)

Für die Berechnung der Schnittstelle \(x_{S}\) der Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) werden die Funktionsterme \(f(x)\) und \(g(x)\) gleichgesetzt und die Gleichung nach \(x\) aufgelöst.

 

\[f(x) = 2e^{0{,}5x} - 2; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[g(x) = -e^{0{,}5x}; \; D_{g} = \mathbb R\]

 

\[\begin{align*} f(x) &= g(x) \\[0.8em] 2e^{0{,}5x} - 2 &= -e^{0{,}5x} \end{align*}\]

 

Die Exponentialgleichung lässt sich mithilfe elementarer Umformungen und einer sich anschließenden Logarithmierung lösen (vgl. Abiturskript - 1.3.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen).

 

\[\begin{align*} 2e^{0{,}5x} - 2 &= -e^{0{,}5x} & &| + e^{0{,}5x} + 2 \\[0.8em] 3e^{0{,}5x} &= 2 & &| : 3 \\[0.8em] e^{0{,}5x} &= \frac{2}{3} & &| \; \ln{(\dots)} \; \text{Logarithmieren} \\[0.8em] \ln \left( e^{0{,}5x} \right) &= \ln\left( \frac{2}{3} \right) & &| \; \ln\left( e^{x} \right) = x \enspace \left( \text{allg.:} \; \log_{a}\left( a^{x} \right) = x\right) \\[0.8em] 0{,}5x &= \ln\left( \frac{2}{3} \right) & &| \cdot 2 \\[0.8em] x &= 2\ln\left( \frac{2}{3} \right) \end{align*}\]

 

Die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) schneiden sich an der Stelle \(x_{S} = 2\ln\left( \frac{2}{3} \right)\).

 

Schnittwinkel der Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) im Schnittpunkt \(S\)

(vgl. 1.5.9 Seite 4 - Schnittwinkel zweier Funktionsgraphen)

 

1. Möglichkeit: Steigungswinkel der Tangenten berechnen

Es sei \(\alpha_{1}\) der Steigungswinkel der Tangente \(T_{f}\) an den Graphen der Funktion \(f\) und \(\alpha_{2}\) der Steigungswinkel der Tangente \(T_{g}\) an den Graphen der Funktion \(g\), jeweils an der Schnittstelle \(x_{S} = 2\ln\left( \frac{2}{3} \right)\).

 

\(f'(x) = e^{0{,}5x}; \enspace g'(x) = -0{,}5e^{0{,}5x}\) (vgl. Teilaufgabe a)

 

Steigungswinkel \(\alpha_{1}\):

 

\[\begin{align*} \tan{\alpha_{1}} &= f'\left( 2\ln\left( \frac{2}{3} \right) \right) \\[0.8em] &= e^{0{,}5 \cdot 2 \ln\left( \frac{2}{3} \right)} \\[0.8em] &= e^{\ln\left( \frac{2}{3} \right)} & &| \; e^{\ln{x}} = x \enspace \left( \text{allg.:} \; a^{\log_{a}{x}} = x \right) \\[0.8em] &= \frac{2}{3} & &| \; \text{TR:} \; \tan^{-1}{(\dots)} \end{align*}\]

 

\[\tan^{-1}{\left( \frac{2}{3} \right)} \approx 33{,}7^{\circ}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \alpha_{1} = 33{,}7^{\circ}\]

 

Steigungswinkel \(\alpha_{2}\):

 

\[\begin{align*} \tan{\alpha_{2}} &= g'\left( 2\ln\left( \frac{2}{3} \right) \right) \\[0.8em] &= -0{,}5e^{0{,}5 \cdot 2 \ln\left( \frac{2}{3} \right)} \\[0.8em] &= -0{,}5e^{\ln\left( \frac{2}{3} \right)} & &| \; e^{\ln{x}} = x \enspace \left( \text{allg.:} \; a^{\log_{a}{x}} = x \right) \\[0.8em] &= (-0{,}5) \cdot \frac{2}{3} \\[0.8em] &= -\frac{1}{3} & &| \; \text{TR:} \; \tan^{-1}{(\dots)} \end{align*}\]

 

\[\tan^{-1}{\left( -\frac{1}{3} \right)} \approx -18{,}4^{\circ}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \alpha_{1} = -18{,}4^{\circ} + 180^{\circ} = 161{,}1^{\circ}\]

 

Schnittwinkel \(\varphi\):

 

\[\vert \alpha_{1} - \alpha_{2} \vert = \vert 33{,}7^{\circ} - 161{,}1^{\circ} \vert = \vert -127{,}9^{\circ} \vert = 127{,}9^{\circ}\]

 

In diesem Fall errechnet die positive Differenz der Steigungswinkel \(\alpha_{1}\) und \(\alpha_{2}\) zunächst den stumpfen Winkel, den Die Tangenten \(T_{f}\) und \(T_{g}\) an der Schnittstelle \(x_{S}\) einschließen. Der (spitze) Schnittwinkel \(\varphi\) ist der Ergänzungswinkel zu \(180^{\circ}\).

 

\[\varphi = 180^{\circ} - \vert \alpha_{1} - \alpha_{2} \vert = 180^{\circ} - 127{,}9^{\circ} = 52{,}1^{\circ} \]

 

Die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) schneiden sich an der Schnittstelle \(x_{S} = 2\ln\left( \frac{2}{3} \right)\) in einem Winkel von 52,1°.

 

Schnittwinkel \(\varphi\) der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) der Funktionen \(f \colon x \mapsto 2e^{0{,}5x} - 2\) und \(g \colon x \mapsto -e^{0{,}5x}\) im Schnittpunkt \(S\) sowie Steigungswinkel \(\alpha_{1}\) und \(\alpha_{2}\) der Tangenten \(T_{f}\) und \(T_{g}\) an der Schnittstelle \(x_{S} = 2\ln\left( \frac{2}{3} \right)\)

 

2. Möglichkeit: Schnittwinkelformel anwenden

 

\[x_{S} = 2\ln\left( \frac{2}{3} \right); \enspace f'\left( 2\ln\left( \frac{2}{3} \right)\right) = \frac{2}{3}; \enspace g'\left( 2\ln\left( \frac{2}{3} \right)\right) = -\frac{1}{3}\]

 

\[\begin{align*}\tan{\varphi} &= \left|\frac{ f'\left( 2\ln\left( \frac{2}{3} \right)\right) - g'\left( 2\ln\left( \frac{2}{3} \right)\right)}{1 + f'\left( 2\ln\left( \frac{2}{3} \right)\right) \cdot g'\left( 2\ln\left( \frac{2}{3} \right)\right)} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{\frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right)}{1 + \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{1}{1 - \frac{2}{9}} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{\frac{7}{9}} \\[0.8em] &= \frac{9}{7} & &| \; \text{TR:} \; \tan^{-1}(\dots) \end{align*}\]

 

\[\tan^{-1}\left( \frac{9}{7} \right) \approx 52{,}1^{\circ}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \varphi \approx 52{,}1^{\circ}\]

 

Die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) schneiden sich an der Schnittstelle \(x_{S} = 2\ln\left( \frac{2}{3} \right)\) in einem Winkel von 52,1°.