Besipielaufgabe

Gegeben sei die in \(\mathbb R\) definierte Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto 4kx \cdot e^{kx}\) mit \(k > 0\).

a) Bestimmen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\) der Funktionenschar \(f_{k}\) in Abhängigkeit des Parameters \(k\). Welche besondere Lage haben die Extrempunkte?

b) Ermitteln Sie die Koordinaten der Wendepunkte der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\) der Funktionenschar \(f_{k}\) in Abhängigkeit des Parameters \(k\). Welche besondere Lage haben die Wendepunkte?

c) Bestimmen Sie den Wert des Parameters \(k\) so, dass die Wendetangente des zugehörigen Graphen der Funktionenschar \(f_{k}\) parallel zur Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten verläuft.

 

\[f_{k}(x) = 4kx \cdot e^{kx}; \; D_{f_{k}} = \mathbb R, \; k > 0\]

 

a) Extrempunkte der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\)

 

Notwendige Bedingung für Extrempunkte der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\) (vgl. Abiturskript - 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte):

 

\[f'_{k}(x) \overset{!}{=} 0\]

 

Erste Ableitung \(f'_{k}\) bilden:

Der Funktionsterm \(f_{k}(x)\) kann unter Beachtung der Faktorregel und mithilfe der Ableitung der Natürlichen Exponentialfunktion sowie der Produktregel und der Kettenregel abgeleitet werden. Der Parameter \(k\) wird beim Ableiten wie eine Konstante behandelt (vgl. Abiturskript - 1.5.2 Ableitungsregeln).

 

\[f_{k}(x) = 4kx \cdot e^{kx}\]

 

\[\begin{align*}f'_{k}(x) &= 4k \cdot 1 \cdot e^{kx} + 4kx \cdot e^{kx} \cdot k \\[0.8em] &= 4ke^{kx} + 4k^{2}e^{kx} \\[0.8em] &= 4ke^{kx} (1 + kx) \end{align*}\]

 

Nullstellen von \(f'_{k}\) bestimmen:

 

\[f'_{k}(x) = \underbrace{4ke^{kx}}_{>\, 0} (1 + kx) \enspace (k > 0)\]

 

Da der Exponentialterm \(4ke^{kx}\) für \(k > 0\) stets größer als Null ist, genügt die Betrachtung der Nullstellen des Faktors \((1 + kx)\) (vgl. Abiturskript - 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln, Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion).

 

\[\begin{align*}f'_{k}(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 1 + kx &= 0 & &| - 1 \\[0.8em] kx &= -1 & &| : k \\[0.8em] x &= -\frac{1}{k} \end{align*}\]

 

An den Stellen \(x = -\frac{1}{k}\) besitzt die Kurvenschar \(G_{f_{k}}\) waagrechte Tangenten.

 

Nachweis der Extremstellen:

Die Extremstellen lassen sich mithilfe des Monotoniekriteriums oder mithilfe der zweiten Ableitung \(f''_{k}\) nachweisen (vgl. Abiturskript - 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte).

 

Nachweis der Extremstellen mithilfe des Monotoniekriteriums:

Um den Vorzeichenwechsel von \(f'_{k}\) (Änderung des Monotonieverhaltens) der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\) an der Stelle \(x = -\frac{1}{k}\) besser beurteilen zu können, ist es zweckmäßig, den Funktionsterm \(f'_{k}(x)\) entsprechen umzuformen.

 

\[\begin{align*}f'_{k}(x) &= 4ke^{kx} (1 + kx) \\[0.8em] &= 4ke^{kx} \cdot k \cdot \left(\frac{1}{k} + x \right) \\[0.8em] &= \underbrace{4k^{2}e^{kx}}_{> \, 0} \left( \frac{1}{k} + x \right) & & (k > 0) \end{align*}\]

 

Der Faktor \(\left( \frac{1}{k} + x \right)\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f'_{k}\) an den Stellen \(x = -\frac{1}{k}\).

 

\[\left. \begin{align*} &f'_{k}\left( \textstyle -\frac{1}{k} \right) = 0 \\[0.8em] &f'_{k}(x) < 0 \; \text{für} \; x < \textstyle -\frac{1}{k} \\[0.8em] &f'_{k}(x) > 0 \; \text{für} \; x > \textstyle -\frac{1}{k} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkte}\; TiP\left( \textstyle -\frac{1}{k} \, \Big| \, f_{k}\left( \textstyle -\frac{1}{k} \right) \right)\]

 

Veranschaulichung mithilfe einer Monotonietabelle:

 

\((k > 0)\)  \(x < -\frac{1}{k}\) \(x = -\frac{1}{k}\) \(x > -\frac{1}{k}\)
\(4k^{2}e^{kx}\) \(+\) \(+\) \(+\)
\(\left( \frac{1}{k} + x \right)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(f'_{k}(x)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(G_{f_{k}}\) \(\searrow\) \(TiP\left( -\frac{1}{k} \, \Big| \, f_{k}\left( -\frac{1}{k} \right) \right)\) \(\nearrow\)

 

Nachweis der Extremstellen mithilfe der zweiten Ableitung \(f''_{k}\):

Die zweite Ableitung \(f''_{k}\) lässt sich unter Beachtung der Faktorregel und mithilfe der Ableitung der Natürlichen Exponentialfunktion sowie der Produktregel und der Kettenregel formulieren. Der Parameter \(k\) wird beim Ableiten wie eine Konstante behandelt (vgl. Abiturskript - 1.5.2 Ableitungsregeln).

 

\(f'_{k}(x) = 4ke^{kx}(1 + kx)\) (vgl. oben)

 

\[\begin{align*}f''_{k}(x) &= 4ke^{kx} \cdot k \cdot (1 + k) + 4ke^{kx} \cdot (0 + k) \\[0.8em] &= 4k^{2}e^{kx} (1 + kx) + 4k^{2}e^{kx} \\[0.8em] &= 4k^{2}e^{kx} (1 + kx + 1) \\[0.8em] &= 4k^{2}e^{kx} (2 + kx) \end{align*}\]

 

Vorzeichen der zweiten Ableitung \(f''_{k}\) an den Extremstellen \(x = -\frac{1}{k}\):

 

\[\begin{align*} f''_{k}\left( \textstyle -\frac{1}{k} \right) &= 4k^{2}e^{k \cdot \left( -\frac{1}{k} \right)} \left( 2 + k \cdot \left( -\frac{1}{k} \right) \right) \\[0.8em] &= 4k^{2}e^{-1} (2 - 1) & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \frac{4k^{2}}{e} \end{align*}\]

 

\[\left. \begin{align*} &f'_{k}\left( \textstyle -\frac{1}{k} \right) = 0 \\[0.8em] &f''_{k}\left( \textstyle -\frac{1}{k} \right) > 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkte}\; TiP\left( \textstyle -\frac{1}{k} \, \Big| \, f_{k}\left( \textstyle -\frac{1}{k} \right) \right)\]

 

Lage (Koordinaten) der Tiefpunkte:

 

\[x = -\frac{1}{k}\]

\[f_{k}(x) = 4kx \cdot e^{kx}\]

 

\[\begin{align*} f_{k}\left( \textstyle -\frac{1}{k} \right) &= 4k \cdot \left( -\frac{1}{k} \right) \cdot e^{k \cdot \left( -\frac{1}{k} \right)} \\[0.8em] &= -4e^{-1} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= -\frac{4}{e} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad TiP\left( \textstyle -\frac{1}{k} \, \Big| \textstyle -\frac{4}{e} \right)\]

 

Besondere Lage der Tiefpunkte:

Die \(y\)-Koordinate der Tiefpunkte ist mit \(-\frac{4}{e}\) unabhängig vom Wert des Parameters \(k\) konstant. Folglich liegen alle Tiefpunkte \(TiP \left( -\frac{1}{k} \, \Big| -\frac{4}{e} \right)\) der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\) auf einer Geraden mit der Gleichung \(y = -\frac{4}{e}\).

 

Die Tiefpunkte der Kurvenschar liegen auf einer Geraden

Die Tiefpunkte \(TiP \left( -\frac{1}{k} \, \Big| -\frac{4}{e} \right)\) der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\) der in \(\mathbb R\) definierten Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto 4kx \cdot e^{kx}\) mit \(k > 0\) liegen auf einer Geraden mit der Gleichung \(y = -\frac{4}{e}\).

 

b) Wendepunkte der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\)

Die Nullstellen von \(f''_{k}\) sind mögliche Wendestellen. Der Nachweis der Wendestellen kann mithilfe des Vorzeichenwechsels von \(f''_{k}\) oder mithilfe der dritten Ableitung \(f'''_{k}\) erfolgen (vgl. Abiturskript - 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte).

 

Nullstellen von \(f''_{k}\) bestimmen:

 

\(f''_{k}(x) = \underbrace{4k^{2}e^{kx}}_{>\,0} (2 + kx)\) (vgl. oben)

 

Da der Exponentialterm \(4k^{2}e^{kx}\) stets größer als Null ist, genügt die Betrachtung der Nullstellen des Faktors \((2 + kx)\) (vgl. Abiturskript - 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln, Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion).

 

\[\begin{align*} f''_{k}(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2 + kx &= 0 & &| - 2 \\[0.8em] kx &= -2 & &| : k \\[0.8em] x &= -\frac{2}{k} \end{align*}\]

 

Die Stellen \(x = -\frac{2}{k}\) sind mögliche Wendestellen der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\).

 

Nachweis der Wendestellen mithilfe von \(f''_{k}\):

Wendestellen \(x = -\frac{2}{k}\) liegen vor, wenn \(f''_{k}\left( -\frac{2}{k} \right) = 0\) gilt, und außerdem \(f''_{k}\) in der Umgebung von \(x = -\frac{2}{k}\) das Vorzeichen wechselt. Um den Vorzeichenwechsel besser beurteilen zu können, wird der Funktionsterm \(f''_{k}(x)\) entsprechend umgeformt.

 

\[\begin{align*} f''_{k}(x) &= 4k^{2}e^{kx} (2 + kx) \\[0.8em] &= 4k^{2}e^{kx} \cdot k \cdot \left( \frac{2}{k} + x \right) \\[0.8em] &= \underbrace{4k^{3}e^{kx}}_{>\,0}\left( \frac{2}{k} + x \right) & & (k > 0) \end{align*}\]

 

Der Faktor \(\left( \frac{2}{k} + x \right)\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f''_{k}\) an den Stellen \(x = -\frac{2}{k}\).

 

\[\left. \begin{align*} &f''_{k}\left( \textstyle -\frac{2}{k} \right) = 0 \\[0.8em] &f''_{k}(x) < 0 \; \text{für} \; x < \textstyle -\frac{2}{k} \\[0.8em] &f''_{k}(x) > 0 \; \text{für} \; x > \textstyle -\frac{2}{k} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Wendepunkte}\; W\left( \textstyle -\frac{2}{k} \, \Big| \, f_{k}\left( \textstyle -\frac{2}{k} \right) \right)\]

 

Veranschaulichung mithilfe einer Krümmungstabelle:

 

\(k > 0\)  \(x < -\frac{2}{k}\) \(x = -\frac{2}{k}\) \(x > -\frac{2}{k}\)
\(4k^{3}e^{kx}\) \(+\) \(+\) \(+\)
\(\left(\frac{2}{k} + x \right)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(f''_{k}(x)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(G_{f_{k}}\) \(\Large \curvearrowright\) \(W\left(-\frac{2}{k}\, \Big| \, f_{k}\left( -\frac{2}{k} \right)  \right)\) \(\style{display: inline-block; transform:rotate(0.5turn);}{\Large \curvearrowleft}\)

 

Nachweis der Wendestellen mithilfe der dritten Ableitung \(f'''_{k}\):

Wendestellen \(x = -\frac{2}{k}\) liegen vor, wenn \(f''_{k}\left(-\frac{2}{k} \right) = 0\) gilt und zusätzlich die Bedingung \(f'''_{k}\left( -\frac{2}{k} \right) \neq 0\) erfüllt ist.

 

Dritte Ableitung \(f'''_{k}\) bilden:

Die dritte Ableitung \(f'''_{k}\) kann unter Beachtung der Faktorregel und mithilfe der Ableitung der Natürlichen Exponentialfunktion sowie der Produktregel und der Kettenregel formuliert werden. Der Parameter \(k\) wird beim Ableiten wie eine Konstante behandelt (vgl. Abiturskript - 1.5.2 Ableitungsregeln).

 

\(f''_{k}(x) = 4k^{2}e^{kx} (2 + kx)\) (vgl. oben)

 

\[\begin{align*} f'''_{k}(x) &= 4k^{2}e^{kx} \cdot k \cdot (2 + kx) + 4k^{2}e^{kx} \cdot (0 + k) \\[0.8em] &= 4k^{3}e^{kx}(2 + kx) + 4k^{3}e^{kx} \\[0.8em] &= 4k^{3}e^{kx}(2 + kx + 1) \\[0.8em] &= 4k^{3}e^{kx}(3 + kx) \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} f'''_{k}\left( -\frac{2}{k} \right) &= 4k^{3}e^{k \cdot \left( -\frac{2}{k} \right)} \cdot \left( 3 + k \cdot \left( -\frac{2}{k} \right) \right) \\[0.8em] &= 4k^{3}e^{-2} \cdot (3 - 2) & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \underbrace{\frac{4k^{3}}{e^{2}}}_{>\,0} & & (k > 0)  \end{align*}\]

 

\[\left. \begin{align*} &f''_{k}\left( \textstyle -\frac{2}{k} \right) = 0 \\[0.8em] &f'''_{k}\left( -\frac{2}{k} \right) \neq 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Wendepunkte}\; W\left( \textstyle -\frac{2}{k} \, \Big| \, f_{k}\left( \textstyle -\frac{2}{k} \right) \right)\]

 

Koordinaten der Wendepunkte berechnen:

 

\[f_{k}(x) = 4kx \cdot e^{kx}\]

 

\[\begin{align*} f_{k}\left( \textstyle -\frac{2}{k} \right) &= 4k \cdot \left( -\frac{2}{k} \right) \cdot e^{k \cdot \left( -\frac{2}{k} \right)} \\[0.8em] &= -8e^{-2} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= -\frac{8}{e^{2}} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad W\left( \textstyle -\frac{2}{k} \, \Big| \textstyle -\frac{8}{e^{2}} \right)\]

 

Besondere Lage der Wendepunkte:

Die \(y\)-Koordinate der Wendepunkte ist mit \(-\frac{8}{e^{2}}\) unabhängig vom Wert des Parameters \(k\) konstant. Folglich liegen alle Wendepunkte \(W \left( -\frac{2}{k} \, \Big| -\frac{8}{e^{2}} \right)\) der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\) auf einer Geraden mit der Gleichung \(y = -\frac{8}{e^{2}}\).

 

Die Wendepunkte der Kurvenschar liegen auf einer Geraden

Die Wendepunkte \(W \left( -\frac{2}{k} \, \Big| -\frac{8}{e^{2}} \right)\) der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\) der in \(\mathbb R\) definierten Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto 4kx \cdot e^{kx}\) mit \(k > 0\) liegen auf einer Geraden mit der Gleichung \(y = -\frac{8}{e^{2}}\).

 

c) Wert des Parameters \(k\), sodass die Wendetangente parallel zur Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten verläuft

Mithilfe der Ersten Ableitung \(f'_{k}\) wird zunächst die Steigung \(m_{w}\) der Wendetangenten \(w\) an der Wendestelle \(x = -\frac{2}{k}\) in Abhängigkeit des Parameters \(k\) ermittelt (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung).

 

\(f'_{k}(x) = 4ke^{kx}(1 + kx)\) (vgl. Teilaufgabe a)

Wendestelle: \(x = -\frac{2}{k}\)

 

\[\begin{align*} m_{w} &= f'_{k}\left( \textstyle -\frac{2}{k} \right) \\[0.8em] &= 4ke^{k \cdot \left( -\frac{2}{k} \right)} \cdot \left( 1 + k \cdot \left( -\frac{2}{k} \right)  \right) \\[0.8em] &= 4ke^{-2} \cdot (1 - 2) & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= -\frac{4k}{e^{2}} & & (k > 0) \end{align*}\]

 

Für einen bestimmten Wert des Parameters \(k\) verläuft eine der Wendetangenten \(w\) parallel zur Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten, wenn deren Steigung gleich der Steigung der Winkelhalbierenden ist (vgl. Abiturskript - 1.1.1 Lineare Funktion, parallele Geraden).

Die Winkelhalbierende des II. und IV. Quadranten mit der Gleichung \(y = -x\) hat die Steigung \(m = -1\).

 

\[\begin{align*} m_{w} &= -1 \\[0.8em] -\frac{4k}{e^{2}} &= -1 & &| \cdot (-e^{2}) \\[0.8em] 4k &= e^{2} & &| : 4 \\[0.8em] k &= \frac{e^{2}}{4} \\[0.8em] k &\approx 1{,}85 \end{align*}\]

 

Wendetangente der Kurvenschar, welche parallel zur Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten verläuft.

Für \(k = \frac{e^{2}}{4}\) verläuft die Wendetangente \(w\) des zugehörigen Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto 4kx \cdot e^{kx}\) mit \(k > 0\) parallel zur Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten mit der Gleichung \(y = -x\).