Lotgerade zu einer Gerade
Die Lotgerade \(\ell\) zu einer Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\) ist im \(\mathbb R^{3}\) durch die Angabe eines Punktes \(P\) mit den Eigenschaften \(P \in \ell\) und \(P \notin g\) eindeutig festgelegt.
Bestimmung der Gleichung der Lotgerade \(\ell\)
Sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(P\) auf die Gerade \(g\), so lässt sich die Gleichung der Lotgerade \(\ell\) durch den Punkt \(P\) zur Gerade \(g\) mithilfe des Aufpunktes \(P\) und dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) beschreiben.
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]
Es gibt mehrere Möglichkeiten, den Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgerade \(\ell\) zu bestimmen.
1. Möglichkeit: Skalarprodukt ortogonaler (senkrechter) Vektoren anwenden
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]
Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\) der Gerade \(g\) und der Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgerade \(\ell\) stehen senkrecht zueinander. Folglich ist das Skalarprodukt der Richtungsvektoren gleich Null (vgl. Abiturskript - 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren, Anwendungen des Skalarprodukts).
\[\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{PF} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{PF} = 0\]
Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgerade \(\ell\) lässt sich in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Gleichung der Gerade \(g\) beschreiben.
\[g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in \mathbb R\]
\[F \in g \colon \overrightarrow{F} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in \mathbb R\]
\[\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{P} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{P}\]
Wendet man nun das Skalarprodukt der orthogonalen Richtungsvektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{PF}\) an, liefert dies genau den Wert des Parameters \(\lambda\), der den Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Gleichung der Lotgerade \(\ell\) festlegt.
\[\begin{align*}\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{PF} &= 0 \\[0.8em] \overrightarrow{u} \circ (\overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{P}) &= 0 \end{align*}\]
\(\Longrightarrow \quad\)Parameterwert für \(\lambda\)
\(\Longrightarrow \quad \)Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\)
\[\Longrightarrow \quad \ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]
Beispiel:
Gegeben sei die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) sowie der Punkt \(P(-4|8|2)\), welcher nicht auf der Gerade \(g\) liegt.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Lotgerade \(\ell\) durch den Punkt \(P\) zur Gerade \(g\).
\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]
\[P(-4|8|2)\]
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]
Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgerade \(\ell\) in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Gleichung der Gerade \(g\) beschreiben:
\[F \in g \colon \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{P} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix}\]
Skalarprodukt der ortogonalen Richtungsvektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{PF}\) anwenden:
\[\begin{align*}\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{PF} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] (-3) \cdot (10 - 3\lambda) + 0 \cdot (-5) + 1 \cdot \lambda &= 0 \\[0.8em] -30 + 10\lambda &= 0 & &| + 30 \\[0.8em] 10\lambda &= 30 & &| : 10 \\[0.8em] \lambda &= 3 \end{align*}\]
Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgerade \(\ell\) berechnen:
\[\overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 3 \cdot 3 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\]
Gleichung der Lotgerade \(\ell\) formulieren:
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]
\[P(-4|8|2)\]
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]
2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen
Die Hilfsebene \(H\) mit den Eigenschaften \(P \in H\) und \(g \perp H\) schneidet die Gerade \(g\) im Lotfußpunkt \(F\) des Lotes des Punktes \(P\) auf die Gerade \(g\).
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]
Um den Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Gleichung der Lotgerade \(\ell\) zu bestimmen, stellt man eine Hilfsebene \(H\) auf, welche den Punkt \(P\) enthält und senkrecht zur Gerade \(g\) liegt. Als Normalenvektor für die Gleichung der Hilfsebene \(H\) in Normalenform dient der Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\) der Geradengleichung von \(g\).
\[P \in H\]
\[g \perp H \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{H} = \overrightarrow{u}\]
\[H \colon \overrightarrow{u} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{P}) = 0\]
Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgerade \(\ell\) lässt sich in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Gleichung der Gerade \(g\) beschreiben.
\[g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in \mathbb R\]
\[F \in g \colon \overrightarrow{F} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in \mathbb R\]
\[\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{P} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{P}\]
Schneidet man die Gerade \(g\) mit der Hilfsebene \(H\), erhält man genau den Wert des Parameters \(\lambda\), der den Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Gleichung der Lotgerade \(\ell\) festlegt (vgl. Abiturskript - 2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene, Bestimmung des Schnittpunkts).
\[g \cap H \colon \overrightarrow{u} \circ (\overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{P}) = 0\]
\(\Longrightarrow \quad\)Parameterwert für \(\lambda\)
\(\Longrightarrow \quad \)Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\)
\[\Longrightarrow \quad \ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]
Beispiel (vgl. 1. Möglichkeit):
Gegeben sei die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) sowie der Punkt \(P(-4|8|2)\), welcher nicht auf der Gerade \(g\) liegt.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Lotgerade \(\ell\) durch den Punkt \(P\) zur Gerade \(g\).
\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]
\[P(-4|8|2)\]
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]
Gleichung der Hilfsebene \(H\) aufstellen:
\(P \in H\,, \; g \perp H\)
\[H \colon \overrightarrow{u} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{P}) = 0\]
\[H \colon \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} \right] = 0\]
\[\begin{align*} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] (-3) \cdot (x_{1} + 4) + 0 \cdot (x_{2} - 8) + 1 \cdot (x_{3} - 2) &= 0 \\[0.8em] -3x_{1} - 12 + x_{3} - 2 &= 0 \\[0.8em] -3x_{1} + x_{3} - 14 &= 0 \end{align*}\]
\[H \colon -3x_{1} + x_{3} - 14 = 0\]
Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgerade \(\ell\) in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Gleichung der Gerade \(g\) beschreiben:
\[F \in g \colon \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{P} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix}\]
Gerade \(g\) mit der Hilfsebene \(H\) schneiden (vgl. Abiturskript - 2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene, Bestimmung des Schnittpunkts):
\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]
\[H \colon -3x_{1} + x_{3} - 14 = 0\]
\[\begin{align*} g \cap H \colon (-3) \cdot (6 - 3\lambda) + 2 + \lambda - 14 &= 0 \\[0.8em] -18 + 9\lambda + 2 + \lambda - 14 &= 0 \\[0.8em] -30 + 10\lambda &= 0 & &| + 30 \\[0.8em] 10\lambda &= 30 & &| : 10 \\[0.8em] \lambda &= 3 \end{align*}\]
Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgerade \(\ell\) berechnen:
\[\overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 3 \cdot 3 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\]
Gleichung der Lotgerade \(\ell\) formulieren:
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]
\[P(-4|8|2)\]
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]
3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden (Extremwertaufgabe)
![Gerade g und Lotgerade ℓ durch den Punkt P ∉ g, Strecke [PX] zwischen dem Punkt P und einem beliebigen Punkt X ∈g](/images/stories/abi_check/geometrie/Lage_Lot_Geraden_Ebenen3.png "Gerade g und Lotgerade ℓ durch den Punkt P ∉ g, Strecke [PX] zwischen dem Punkt P und einem beliebigen Punkt X ∈g")
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]
Es sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(P\) auf die Gerade \(g\).
Die Länge der Strecke \([PX]\) zwischen dem Punkt \(P\) und einem beliebigen Punkt \(X \in g\) ist gleich dem Betrag des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{PX}\).
\[\overline{PX} = \vert \overrightarrow{PX} \vert\]
Der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PX}\) lässt sich in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Gleichung der Gerade \(g\) beschreiben.
\[g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in \mathbb R\]
\[\overrightarrow{PX} = \overrightarrow{X} - \overrightarrow{P} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{P}\]
Für \(X = F\) ist die Länge der Strecke \(\overline{PX}\) minimal. Folglich muss die erste Ableitung \(\overline{PX}'\) gleich Null sein (vgl. 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte und Abiturskript - 1.5.7 Extremwertaufgaben). Der Nachweis der Art des Extremwerts kann entfallen, denn für \(X \neq F\) nimmt die Länge der Strecke \([PX]\) einen beliebig großen Wert an. Somit existiert keine maximale Länge der Strecke \([PX]\).
Die Extremstelle \(\lambda_{min}\) liefert genau den Wert des Parameters \(\lambda\), der den Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Gleichung der Lotgerade \(\ell\) festlegt.
\[\overline{PX}'(\lambda) \overset{!}{=} 0\]
\(\Longrightarrow \quad\)Parameterwert für \(\lambda\)
\(\Longrightarrow \quad \)Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\)
\[\Longrightarrow \quad \ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]
Beispiel (vgl. 1. und 2. Möglichkeit):
Gegeben sei die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) sowie der Punkt \(P(-4|8|2)\), welcher nicht auf der Gerade \(g\) liegt.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Lotgerade \(\ell\) durch den Punkt \(P\) zur Gerade \(g\).
\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]
\[P(-4|8|2)\]
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]
Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PX}\) in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Gleichung der Gerade \(g\) beschreiben:
\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{PX} = \overrightarrow{X} - \overrightarrow{P} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix}\]
Länge der Strecke \([PX]\) in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) formulieren:
\[\begin{align*} \overline{PX} &= \vert \overrightarrow{PX} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(10 - 3\lambda)^{2} + (-5)^{2} + \lambda^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{100 - 60\lambda + 9\lambda^{2} + 25 + \lambda^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{10\lambda^{2} - 60\lambda + 125} \end{align*}\]
Notwendige Bedingung \(\overline{PX}'(\lambda) = 0\) für minimale Länge der Strecke \([PX]\) (vgl. Abiturskript - 1.5.2 Ableitungsregeln):
\[\begin{align*} \overline{PX}'(\lambda) &= 0 \\[0.8em] \left( \sqrt{10\lambda^{2} - 60\lambda + 125} \right)' &= 0 \\[0.8em] \frac{20\lambda - 60}{2 \cdot \sqrt{10\lambda^{2} - 60\lambda + 125}} &= 0 \end{align*}\]
\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad 20\lambda - 60 &= 0 & &| + 60 \\[0.8em] 20\lambda &= 60 & &| : 20 \\[0.8em] \lambda &= 3\end{align*}\]
Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\) berechnen:
\[\overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 3 \cdot 3 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\]
Gleichung der Lotgerade \(\ell\) formulieren:
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]
\[P(-4|8|2)\]
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]
