Lotgerade zu einer Ebene
Eine Lotgerade \(\ell\) zu einer Ebene \(E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A})\) ist durch einen beliebigen Punkt \(P \in \ell\) und den Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) eindeutig festgelegt.
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \overrightarrow{n}_{E}\,; \; \lambda \in \mathbb R\]
Jedes Vielfache des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) ist ebenfalls ein Richtungsvektor der Lotgerade \(\ell\).
Beispiel:
Geben sei die Ebene \(E \colon 2x_{1} - 3x_{2} + 4x_{3} - 3 = 0\).
Geben Sie eine Gleichung der Lotgerade \(\ell\) zur Ebene \(E\) an, welche durch den Punkt \(P(-1|5|-3)\) verläuft.
\[E \colon 2x_{1} - 3x_{2} + 4x_{3} - 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\]
\[P(-1|5|-3)\]
\[\Longrightarrow \quad \ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]
