Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion \(f\)mit \(f(x) = 0{,}5x^2 + 3x\) an der Stelle \(x = -2\) mithilfe des Differentialquotienten. Tipp: Verwenden Sie die h-Methode.
Vorbemerkung
Der Differentialquotient ist die formale Definition der Ableitung.
Differentialquotient oder lokale bzw. momentane Änderungsrate
Der Differentialquotient oder die lokale bzw. momentane Änderungsrate \(m_{x_{0}} = \lim \limits_{x \, \to \, x_{0}} \dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) beschreibt den Grenzwert des Differenzenquotienten \(\dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) bei beliebig genauer Annäherung \(x \to x_{0}\) und damit die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_{0}\).
Man nennt den Grenzwert \(m_{x_{0}}\) die Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x_{0}\) und schreibt dafür \(f'(x_{0})\). Voraussetzung: Der Grenzwert existiert an der Stelle \(x_{0}\) und ist endlich.
\[f'(x_{0}) = \lim \limits_{x \, \to \, x_{0}} \dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[f'(x_0) = \underbrace{\lim \limits_{x \,\to\,x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}}_{\large{x_0\text{-Methode}}} = \underbrace{\lim \limits_{h\,\to\,0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}}_{\large{h\text{-Methode}}}\]
Die Grenzwertbetrachtung des Differentialquotienten führt immer zunächst auf den unbestimmten Ausdruck \(\dfrac{0}{0}\), der sich nicht beurteilen lässt.
Um eine aussagekräftige Grenzwertbetrachtung zu erhalten, wird
- bei der \(x_0\)-Metode der Zähler faktorisiert und mit dem Nenner \(x - x_0\) gekürzt.
- bei der \(h\)-Methode \(h\) im Zähler ausgeklammert und mit \(h\) im Nenner gekürzt.
Wenn das einmal nicht funktioniert, liegt ein Rechenfehler vor.
\(f(x) = 0{,}5x^2 + 3x\); \(\textcolor{#cc071e}{x_0 = -2}\)
1. Möglichkeit: \(\boldsymbol{h}\)-Methode
Der Tipp in der Aufgabenstellung verweist auf die \(h\)-Methode, weil diese beim Ableiten von ganzrationalen Funktionen mit dem Differentialquotienten häufig die einfachere ist.
\[\begin{align*}f'(\textcolor{#cc071e}{-2}) &= \lim \limits_{\textcolor{#e9b509}{h\, \to\, 0}} \frac{f(\textcolor{#cc071e}{-2} + \textcolor{#e9b509}{h}) - f(\textcolor{#cc071e}{-2})}{\textcolor{#e9b509}{h}} &&| \;f(x) = 0{,}5x^2+3x \\[0.8em] &= \lim \limits_{\textcolor{#e9b509}{h\,\to\,0}} \frac{0{,}5 \cdot (\textcolor{#cc071e}{-2} + \textcolor{#e9b509}{h})^2 + 3 \cdot (\textcolor{#cc071e}{-2} + \textcolor{#e9b509}{h}) - (0{,}5 \cdot (\textcolor{#cc071e}{-2})^2 + 3\cdot (\textcolor{#cc071e}{-2}))}{\textcolor{#e9b509}{h}} &&| \;\text{Ausmultiplizieren} \\[0.8em] &= \lim \limits_{h\,\to\,0} \frac{0{,}5 \cdot (4 - 4h + h^2) -6 + 3h - (2 - 6)}{h} \\[0.8em] &= \lim \limits_{h\,\to\,0} \frac{2 - 2h + 0{,}5h^2 -6 + 3h + 4}{h} &&|\;\text{Zusammenfassen} \\[0.8em] &= \lim \limits_{h\,\to\,0} \frac{0{,}5h^2 +h}{h} &&| \; \textcolor{#e9b509}{h}\;\text{ausklammern und kürzen} \\[0.8em] &= \lim \limits_{h\,\to\,0} \frac{\cancel{\textcolor{#e9b509}{h}} \cdot (0{,}5h + 1)}{\cancel{\textcolor{#e9b509}{h}}} &&| \;(h \neq 0) \\[0.8em] &= \lim \limits_{\textcolor{#e9b509}{h\,\to\,0}} (0{,}5\textcolor{#e9b509}{h} + 1) \\[0.8em] &= 1 \end{align*}\]
Natürlich ist es auch möglich, den Differenzenquotienten \(\dfrac{f(-2 + h) - f(h)}{h}\) vorab zu vereinfachen und die Grenzwertbetrachtung am vereinfachten Term durchzuführen. Dann muss der „limes" \(\lim \limits_{h\,\to\,0}\) nicht immer mitgeschrieben werden.
Prüfen mit Ableitungsregeln (nicht verlangt):
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[f(x) = 0{,}5x^2 + 3x\]
\[f'(x) = x + 3\]
\[f'(\textcolor{#cc071e}{-2}) = \textcolor{#cc071e}{-2} + 3 = 1\]
2. Möglichkeit: \(\boldsymbol{x_0}\)-Methode
\[\begin{align*}f'(\textcolor{#cc071e}{-2}) &= \lim \limits_{\textcolor{#cc071e}{x \,\to\,-2}} \frac{f(x) - f(\textcolor{#cc071e}{-2})}{x - (\textcolor{#cc071e}{-2})} &&| \; f(x) = 0{,}5x^2 + 3x \\[0.8em] &= \lim \limits_{\textcolor{#cc071e}{x\,\to\,-2}} \frac{0{,}5x^2 + 3x - (0{,}5 \cdot \textcolor{#cc071e}{(-2)}^2 + 3 \cdot \textcolor{#cc071e}{(-2)})}{x - \textcolor{#cc071e}{(-2)}} &&|\;\text{Ausmultiplizieren, Zusammenfassen} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-2} \frac{0{,}5x^2 + 3x + 4}{x + 2} &&|\; = \frac{0}{0}\;\Rightarrow \; \text{Zähler faktorisieren}\end{align*}\]
Der quadratische Zählerterm kann anhand der Nullstellen als Produkt seiner Linearfaktoren formulieren werden.
Es gilt: \(ax^2 + bx + c = a \cdot (x - x_1) \cdot (x- x_2)\), wobei \(x_1\) und \(x_2\) Nullstellen sind.
Nullstellen des Zählers ermitteln:
\[0{,}5x^2 + 3x + 4 = 0\]
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)
\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]
\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
\[x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 0{,}5 \cdot 4}}{2 \cdot 0{,}5} = -3 \pm 1\]
\[\Rightarrow\;x_1 = -4; \; x_2 = -2\]
\[\Rightarrow \; 0{,}5x^2 + 3x + 4 = 0{,}5 \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)\]
Damit lässt sich der Differentialquotient nun vereinfachen (Nenner kürzen) und beurteilen.
\[\begin{align*}f'(\textcolor{#cc071e}{-2}) &= \lim \limits_{x\,\to\,-2} \frac{0{,}5 \cdot (x + 4) \cdot \cancel{(x + 2)}}{\cancel{x + 2}} \\[0.8em] &= \lim \limits_{\textcolor{#cc071e}{x\,\to\,-2}} 0{,}5 \cdot (\textcolor{#cc071e}{x} + 4) \\[0.8em] &= 1\end{align*}\]
