Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(p\).
a) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung die mittlere Änderungsrate von \(p\) im Intervall \([-2;2]\) und veranschaulichen Sie Ihre Vorgehensweise durch geeignete Eintragungen in die Abbildung. Entscheiden Sie, ob es im dargestellten Bereich des Graphen \(G_p\) ein Intervall gibt, in dem die mittlere Änderungsrate von \(p\) kleiner als null ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz.
b) Erklären Sie die Bedeutung des Grenzwerts \(\lim \limits_{x\,\to\,-2}\dfrac{p(x) - p(-2)}{x + 2}\). Veranschaulichen Sie diesen in der Abbildung und bestimmen Sie damit näherungsweise den Grenzwert.
a) Mittlere Änderungsrate von \(p\) im Intervall \([-2;2]\), Beurteilung, ob die mittlere Änderungsrate von \(p\) kleiner als null sein kann
Mittlere Änderungsrate von \(p\) im Intervall \([-2;2]\)
Die mittlere Änderungsrate von \(p\) im Intervall \([-2;2]\) entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte \((-2|p(-2))\) und \((2|p(2))\).
Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate
Der Differenzenquotient oder die mittlere Änderungsrate \(m_{s} = \dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) beschreibt die Steigung der Sekante durch den Punkt \((x_{0}|f(x_{0}))\) und einen weiteren Punkt des Graphen der Funktion \(f\).
\[m_S = \textcolor{#cc071e}{\frac{1{,}5}{4}} = \frac{3}{8}\]
Beurteilung, ob die mittlere Änderungsrate von \(p\) kleiner als null sein kann
Da der Graph der Funktion \(p\) im dargestellten Bereich streng monoton steigt, kann es in diesem Bereich kein Intervall geben, in dem die mittlere Änderungsrate von \(p\) negativ ist.
b) Bedeutung, Veranschaulichung und näherungsweise Bestimmung des Grenzwerts
Bedeutung des Grenzwerts
Der Grenzwert \(\lim \limits_{x\,\to\,-2}\dfrac{p(x) - p(-2)}{x + 2}\) formuliert den Differentialquotienten einer Funktion \(p\) an der Stelle \(x = -2\).
Differentialquotient oder lokale bzw. momentane Änderungsrate
Der Differentialquotient oder die lokale bzw. momentane Änderungsrate \(m_{x_{0}} = \lim \limits_{x \, \to \, x_{0}} \dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) beschreibt den Grenzwert des Differenzenquotienten \(\dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) bei beliebig genauer Annäherung \(x \to x_{0}\) und damit die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_{0}\).
Man nennt den Grenzwert \(m_{x_{0}}\) die Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x_{0}\) und schreibt dafür \(f'(x_{0})\). Voraussetzung: Der Grenzwert existiert an der Stelle \(x_{0}\) und ist endlich.
\[f'(x_{0}) = \lim \limits_{x \, \to \, x_{0}} \dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\]
(vgl. Merkhilfe)
Der Grenzwert bedeutet
- den Funktionswert der ersten Ableitungsfunktion \(p'\) an der Stelle \(x = -2\), also \(p'(-2)\) und
- in graphischer Interpretation die Steigung des Graphen von \(p\) an der Stelle \(x = -2\), d. h. die Steigung der Tangente an \(G_p\) an der Stelle \(x = -2\).
Veranschaulichung und näherungsweise Bestimmung des Grenzwerts
Die Steigung der Tangente an den Graphen von \(p\) an der Stelle \(x = -2\) veranschaulicht den Grenzwert \(\lim \limits_{x\,\to\,-2}\dfrac{p(x) - p(-2)}{x + 2}\).
Mithilfe eines Steigungsdreiecks ergibt sich näherungsweise:
\[\lim \limits_{x\,\to\,-2}\frac{p(x) - p(-2)}{x + 2} \approx \textcolor{#cc071e}{\frac{2}{3}}\]
