Ebenengleichung in Parameterform

  • Gegeben sind die Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\).

    a) Weisen Sie nach, dass sich die Geraden \(g\) und \(h\) im Punkt \(S(-3|-1|4)\) schneiden.

    b) Geben Sie eine Gleichung der von den Geraden \(g\) und \(h\) aufgespannten Ebene \(E\) in Parameterform an und bestimmen Sie ein Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

  • Aufgabe 1

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{8 - 2x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Geben Sie die maximale Definitionsbemenge \(D_{f}\) sowie die Wertemenge \(W_{f}\) der Funktion \(f\) an.

    b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist. Bestimmen Sie den Funktionsterm \(f^{-1}(x)\). Geben Sie die Definitions- und die Wertemenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) an.

    c) Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{f^{-1}}\) der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) schließen im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein herzförmiges Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

    Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie \(G_{f^{-1}}\) mithilfe der Funktionswerte \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(3{,}5)\) und \(f(4)\) im ersten Quadranten eines gemeinsamen Koordinatensystems. Achten Sie dabei insbesondere auf den Verlauf von \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 4\). Schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

     

    Aufgabe 2

    Geben Sie jeweils eine Gleichung der Gerade \(g\) an, für die gilt:

    a) Die Gerade \(g\) ist eine Ursprungsgerade und der Punkt \(P(1|3|4)\) liegt auf \(g\).

    b) Die Gerade \(g\) verläuft parallel zur \(x_{2}\)-Achse durch den Punkt \(Q(-2|2|0)\).

    c) Die Gerade \(g\) verläuft parallel zur \(x_{1}x_{3}\)-Ebene durch den Punkt \(R(-2{,}5|1|1)\).

    d) Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(S(3|2|-1)\) und \(T(6|4|0)\).

     

    Aufgabe 3

    Gegeben sind die Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{B} + \mu \cdot \overrightarrow{v}\) mit \(\lambda, \mu \in \mathbb R\). Entscheiden Sie ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz.

    a) Gilt \(\overrightarrow{u} = k \cdot \overrightarrow{v}; \; k \in \mathbb R\), so verlaufen die Geraden \(g\) und \(h\) parallel zueinander.

    b) Gilt \(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{v} = 0\), so schneiden sich die Geraden \(g\) und \(h\) rechtwinklig.

     

    Aufgabe 4

    Untersuchen Sie, ob die Punkte \(A(3|1|0)\), \(B(2|-1|-2)\), \(C(-2|1|-2)\) und \(D(4|3|-4)\) in einer Ebene liegen. 

     

    Aufgabe 5

    Beschreiben Sie unter Verwendung einer geeigneten Skizze, wie sich nachweisen lässt, dass eine Gerade orthogonal zu einer Ebene ist.

  • Untersuchen Sie, ob die Punkte \(A(3|1|0)\), \(B(2|-1|-2)\), \(C(-2|1|-2)\) und \(D(4|3|-4)\) in einer Ebene liegen. 

  • Die Ebene \(F\) schneidet die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene in der Geraden \(g\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(g\).

    (zur Kontrolle: \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 30 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\))

    (3 BE)