Graphische Bestimmung von Funktionswerten

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in \([0;16]\) definierten Funktion \(V \colon t \mapsto V(t)\). Sie beschreibt modellhaft das sich durch Zu- und Abfluss ändernde Volumen von Wasser in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei bezeichnet \(t\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und \(V(t)\) das Volumen in Kubikmetern.

Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 jeweils näherungsweise das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn sowie den Zeitraum an, in dem das Volumen mindestens 450 m³ beträgt.

(2 BE)

Erläutern Sie, was es im Sachzusammenhang bedeutet, wenn für ein \(t \in [0;10]\) die Beziehung \(V(t + 6) = V(t) - 350\) gilt. Entscheiden Sie mithilfe von Abbildung 2, ob für \(t = 5\) diese Beziehung gilt, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

(3 BE)

Begründen Sie, dass \(x = 1\) nicht in \(D_{g}\) enthalten ist, und geben Sie den Funktionswert \(g(-2)\) an.

(2 BE)

Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte \(f(6)\) und \(g(6)\) an. 

(2 BE)

Gemäß der Kettenregel gilt \(g'(x) = f'\left( f(x) \right) \cdot f'(x)\). Ermitteln Sie damit und mithilfe von Abbildung 2 alle Stellen, an denen der Graph von \(g\) eine waagrechte Tangente besitzt.

(3 BE)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_1^7 f(x)dx\).

(2 BE)

Bestimmen Sie den Funktionswert von \(f\) an der Stelle 1; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 1.

(3 BE)

Betrachtet wird die Funktion \(g \colon x \mapsto \ln{\left( f(x) \right)}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_g\). Geben Sie \(D_g\) an und ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 diejenige Stelle \(x\), für die \(g'(x) = f'(x)\) gilt.

(3 BE)

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, wie viele Monate nach Beobachtungsbeginn eine Sonnenblume eine Höhe von 1,5 Metern erreicht. Beschreiben Sie, wie man den Wert graphisch überprüfen kann.

(5 BE)