Halbkreis

Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{25 - x^{2}}\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f} = [-5;5]\).

Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte \(M\) den Abstand 5 m hat. Zeichnen Sie den Graphen von \(f\) in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: \(-5 \leq x \leq 9\), \(-1 \leq y \leq 13\)) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist.

(5 BE)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit \(f\) von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht.

(2 BE)

Abb. 1

Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) der Funktion \(f\) mit Definitionsbereich \([-2;2]\). Der Graph besteht aus zwei Halbkreisen, die die Mittelpunkte \((-1|0)\) bzw. \((1|0)\) sowie jeweils den Radius 1 besitzen. Betrachtet wird die in \([-2;2]\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon \mapsto \int_0^x f(t)\,dt\).

Geben Sie \(F(0)\), \(F(2)\) und \(F(-2)\) an.

(3 BE)

Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) in Abbildung 1.

(2 BE)