Kreuzprodukt

Die Punkte \(A(3|-1|5)\), \(B(5|3|1)\) und \(C(7|-3|9)\) legen das Dreieck \(ABC\) fest.

a) Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.

b) Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks \(ABC\).

c) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(D\), der das Dreieck \(ABC\) zu einer Raute ergänzt.

d) Berechnen Sie den Winkel \(\measuredangle{DBA} = \varphi\).

e) Der Punkt \(S(4,6,10)\) ist die Spitze der Pyramide \(ABCS\), deren Grundfläche das Dreieck \(ABC\) ist. Weisen Sie nach, dass die Strecke \([MS]\) des Mittelpunkts \(M\) der Grundkante \([BC]\) und der Pyramidenspitze \(S\) die Höhe der Pyramide \(ABCS\) ist.

f) Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens der Pyramide \(ABCS\).

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte \(A(6|3|3)\), \(B(3|6|3)\) und \(C(3|3|6)\) das gleichseitige Dreieck \(ABC\) fest.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebenen \(E\), in der das Dreieck \(ABC\) liegt, in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E \colon x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 = 0\))

(4 BE)

Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Balls wird im Modell durch den Punkt \(H(50|70|15)\) beschrieben.

Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte \(W_{1}\), \(W_{2}\) und \(K_{2}\) festgelegten Ebene \(E\) in Normalenform und weisen Sie nach, dass \(H\) unterhalb von \(E\) liegt.

(Mögliches Teilergebnis: \(E \colon x_{2} + 5x_{3} - 150 = 0\))

(7 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(T\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(T \colon 5x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} - 30 = 0\))

(3 BE)

Der Punkt \(L\), der vertikal über dem Mittelpunkt der Kante \([A_{1}A_{2}]\) liegt, veranschaulicht im Modell die Position einer Flutlichtanlage, die 12 m über der Grundfläche angebracht ist. Die als punktförmig angenommene Lichtquelle beleuchtet - mit Ausnahme des Schattenbereichs in der Nähe der Hallenwände - das gesamte Gelände um die Halle.

Die Punkte \(L\), \(B_{2}\) und \(B_{3}\) legen eine Ebene \(F\) fest. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(F \colon 3x_{1} + x_{2} + 5x_{3} - 90 = 0\))

(5 BE)

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene \(F\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(F \colon x_{1} + x_{2} - 2x_{3} + 2 = 0\))

(3 BE)

Berechnen Sie das Volumen \(V\) der Pyramide \(ABCDS\).

(zur Kontrolle: \(V = 72\))

(2 BE)

Das Dreieck \(ABF\) liegt in der Ebene \(W\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(W\) in Koordinatenform und beschreiben Sie die besondere Lage von \(W\) im Koordinatensystem.

(zur Kontrolle: \(W \colon 4x_{2} + 3x_{3} - 20 = 0\))

(4 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Gerade \(g\) in \(E\) liegt.

(zur Kontrolle: \(E \colon 2x_1 - x_2 + 2x_3 + 35 = 0\))

(5 BE)

Die Ebene \(E\) enthält die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\), die Ebene \(F\) die Punkte \(B\), \(C\) und \(D\).

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308\))

(4 BE)

Die Abbildung zeigt den Körper \(ABCDEF\) mit \(A(6|3|0)\), \(B(0|6|0)\), \(C(3|0|0)\), \(D(6|3|6)\), \(E(0|6|6)\) und \(F(3|0|12)\).
Die Punkte \(D\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\).

Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(2x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 42 = 0\))

(4 BE)