Logarithmieren

Ein Unternehmen fertigt in großer Stückzahl ein elektronisches Bauteil. Bei der Herstellung können zwei Arten von Fehlern auftreten, ein elektrischer Fehler und ein optischer Fehler. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(E\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen elektrischen Fehler auf."

\(O\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen optischen Fehler auf."

Aus laufender Qualitätskontrolle ist bekannt, dass 5 % der gefertigten Bauteile einen elektrischen Fehler aufweisen. Zudem haben 3 % einen elektrischen, aber keinen optischen Fehler sowie 4 % einen optischen, aber keinen elektrischen Fehler.

 

a) Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{E \cup O}\) im Sachzusammenhang.

b) Erstellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel und geben Sie daraus an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewähltes Bauteil

α) genau einen der beiden Fehler aufweist.

β) höchstens einen der beiden Fehler aufweist.

c) Untersuchen Sie die Ereignisse \(E\) und \(O\) auf Unabhängigkeit.

d) Wie viele Bauteile müssen mindestens zufällig ausgewählt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein Bauteil zu erhalten, das einen elektrischen Fehler aufweist?

Gegeben ist die Funktion \(f\colon x \mapsto 2(e^{x} - 1)^{2}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(f\) an.

b) Ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\). Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

c) Weisen Sie nach, dass der Koordinatenursprung absoluter Tiefpunkt von \(G_{f}\) ist. Geben Sie die Wertemenge der Funktion \(f\) an.

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

b) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) von \(f\) sowie die Lage und Art des/der Extrempunkte(s) von \(G_{f}\).

c) Ermitteln Sie die Gleichung der Normale \(N\) im Punkt P\((0|f(0))\).

Aufgabe 1

Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen, ohne anschließend zu vereinfachen.

 

a) \(f(x) = 2\sqrt{x} \cdot \cos(0{,}5x)\)

b) \(g(x) = \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)}{2x + 3}\)

 

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto 4 - 2e^{x - 4}\).

 

a) Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(f\) an. Bestimmen Sie das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs. Geben Sie die Wertemenge der Funktion \(f\) an.

b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist.

c) Berechnen Sie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion an. Skizzieren Sie den Graphen der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) in das obige Koordinatensystem.

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f\colon x \mapsto 2(e^{x} - 1)^{2}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(f\) an.

b) Ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\). Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

c) Weisen Sie nach, dass der Koordinatenursprung absoluter Tiefpunkt von \(G_{f}\) ist. Geben Sie die Wertemenge der Funktion \(f\) an.

 

Aufgabe 4

Einer der folgenden Graphen gehört zu der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x + 3}{e^{x}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Geben Sie an, welcher der Graphen I, II oder III den Graphen \(G_{f}\) zeigt und begründen Sie jeweils, warum die beiden anderen Graphen nicht in Frage kommen. 

 

Aufgabe 5

An der Decke eines Hausflurs ist eine Deckenleuchte angebracht. Die Randlinie des Lichtkegels der Deckenleuchte kann näherungsweise durch die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto -3 \cdot \left( e^{0{,}4x} + e^{-0{,}5x} \right) + 9\) beschrieben werden mit \(x\) und \(y\) in Metern (vgl. Abbildung). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

 

a) Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) nicht symmetrisch bezüglich des Koordinatensystems ist.

b) Ersetzen Sie einen Zahl \((\neq 0)\) des Funktionsterms \(f(x)\) so, dass \(G_{f}\) symmetrisch ist und geben Sie die Art der Symmetrie an.

Eine Feinjustierung der LEDs der Deckenleuchte verändert den Lichtkegel. Die Randlinie des Lichtkegels wird nun näherungsweise durch die Funktion \(g \colon x \mapsto -3 \cdot \left( e^{0{,}5x} + e^{-0{,}5x} \right) + 9\) beschrieben. Der Graph der Funktion \(g\) wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.

c) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von \(G_{g}\) mit den Koordinatenachsen. Hinweis: Verwenden Sie die Substitution \(u = e^{0{,}5x}\) zur Bestimmung der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

d) Berechnen Sie den Winkel, unter dem \(G_{g}\) die negative \(x\)-Achse schneidet.

e) Die Position der Aufhängung der Deckenleuchte entspricht der Lage des Hochpunkts von \(G_{g}\). Die Aufhängung ist 85 cm von der Decke entfernt. Berechnen Sie die Raumhöhe \(h\) des Hausflurs, an dessen Decke die Deckenleuchte angebracht ist.

 

Aufgabe 6

Der Punkt \(A(4|-1|0)\) ist Mittelpunkt der Kugel \(K\), auf deren Oberfläche der Punkt \(B(-1|1|4)\) liegt. 

Ermitteln Sie die Koordinaten eines weiteren Punktes \(C\), der ebenfalls auf der Kugeloberfläche liegt.

Aufgabe 1

Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an. Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der Funktion und vereinfachen Sie den Term der Ableitungsfunktion soweit wie möglich.

 

a) \(f(x) = -2\cos{(3- x)}\)

b) \(g(x) = \ln{\left( 2 - x^{2} \right)}\)

c) \(h(x) = \dfrac{-2 + e^{x}}{e^{x} - 1}\)

 

Aufgabe 2

Geben Sie zu jeder der folgenden Funktionen eine Stammfunktion an.

 

a) \(f(x) = \dfrac{2}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\)

b) \(g(x) = -\dfrac{1}{3}\sin(3x - 2); \; D_{g} = \mathbb R\)

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x^{2} + 9} - 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet

 

a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion \(f\).

b) Untersuchen Sie die Umkehrbarkeit der Funktion \(f\).

c) Ermitteln sie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) mit \(D_{f} = \mathbb R^{+}\) und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion an.

d) Geben Sie an, welche Eigenschaft alle Schnittpunkte des Graphen der Funktion \(f\) und des Graphen der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) haben und begründen Sie Ihre Aussage.

 

Aufgabe 4

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

b) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) von \(f\) sowie die Lage und Art des/der Extrempunkte(s) von \(G_{f}\).

c) Ermitteln Sie die Gleichung der Normale \(N\) im Punkt P\((0|f(0))\).

 

Aufgabe 5

Die Punkte \(A(3|-1|5)\), \(B(5|3|1)\) und \(C(7|-3|9)\) legen das Dreieck \(ABC\) fest.

 

a) Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.

b) Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks \(ABC\).

c) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(D\), der das Dreieck \(ABC\) zu einer Raute ergänzt.

d) Berechnen Sie den Winkel \(\measuredangle{DBA} = \varphi\).

e) Der Punkt \(S(4,6,10)\) ist die Spitze der Pyramide \(ABCS\), deren Grundfläche das Dreieck \(ABC\) ist. Weisen Sie nach, dass die Strecke \([MS]\) des Mittelpunkts \(M\) der Grundkante \([BC]\) und der Pyramidenspitze \(S\) die Höhe der Pyramide \(ABCS\) ist.

f) Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens der Pyramide \(ABCS\).

Ein Test besteht aus zwölf Fragen, zu denen es jeweils gleich viele Antwortmöglichkeiten gibt. Pro Frage ist genau eine Antwort richtig.

Wie viele Antwortmöglichkeiten darf der Test höchstens nennen, damit ein ratender Teilnehmer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens eine Frage richtig beantwortet.

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(a \, \colon x \mapsto \left( e^x - 2 \right) \cdot \left( x^3 - 2x \right)\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R\).

(3 BE)

In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion \(h\) aus Aufgabe 2 beschreibt für \(x \geq 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet \(h(x)\) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und \(x\) die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.

Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt \(x\), zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.

(3 BE)

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde bei seinem Einkauf den niedrigsten Rabatt erhält, beträgt \(\sf{\frac{1}{9}}\). Bestimmen Sie, wie viele Kunden mindestens an dem Glücksrad drehen müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält.

(4 BE)

Eine Funktion \(f\) ist durch \(f(x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} - 1\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion \(f\).

(2 BE)

Eine Funktion \(f\) ist durch \(f(x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} - 1\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion \(f\).

(2 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).

(Teilergebniss: \(x\)-Koordinate des Extrempunkts: \(\ln 4\))

(4 BE)

Bestimmen Sie denjenigen Wert \(x_{0}\), für den \(A(x_{0}) = 4\) gilt, und interpretieren sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang. 

(4 BE)

Ermitteln Sie, wie viele Haushalte das Unternehmen mindestens anschreiben müsste, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % wenigstens ein angeschriebener Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, einen solchen einrichten lassen würde. Gehen Sie davon aus, dass sich jeder hundertste angeschriebene Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, dafür entscheidet, einen solchen einrichten zu lassen.

(5 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = e^{2x + 1}\). Zeigen Sie, dass \(f\) umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von \(f\).

(4 BE)

Es wird das Flächenstück zwischen \(G_{g}\) und der \(x\)-Achse im Bereich \(-\ln{3} \leq x \leq b\) mit \(b \in \mathbb R^{+}\) betrachtet. Bestimmen Sie den Wert von \(b\) so. dass die \(y\)-Achse dieses Flächenstück halbiert.

(6 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{e^x}{e^x - 2}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).

Bestimmen Sie \(D\) und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Achse an.

(3 BE) 

Berechnen Sie denjenigen Wert von \(c\), für den \(\overline{QR} = 1\) gilt.

(3 BE) 

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, wie viele Monate nach Beobachtungsbeginn eine Sonnenblume eine Höhe von 1,5 Metern erreicht. Beschreiben Sie, wie man den Wert graphisch überprüfen kann.

(5 BE)