Mathematik Abitur Bayern 2012

  • Die Ebene \(F\) enthält die Gerade \(CT\) und zerlegt das Prisma in zwei volumengleiche Teilkörper. Wählen Sie einen Punkt \(P\) so, dass er gemeinsam mit den Punkten \(C\) und \(T\) die Ebene \(F\) festlegt; begründen Sie Ihre Wahl. Tragen Sie die Schnittfigur von \(F\) mit dem Prisma in Ihre Zeichnung ein.

    (3 BE)

  • Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Fenster bei seiner Drehung am Möbelstück anstoßen kann.

    (5 BE)

  • Bei jeder Aufführung wird der Vorhang 15-mal geschlossen; dafür ist ein automatischer Mechanismus vorgesehen. Erfahrungsgemäß funktioniert der Mechanismus bei jedem Schließen des Vorhangs mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 %. Nur dann, wenn der Mechanismus nicht funktioniert, wird der Vorhang von Hand zugezogen.

    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

    \(A\,\): "Bei einer Aufführung wird der Vorhang kein einziges Mal von Hand zugezogen."

    \(B\,\): "Bei einer Aufführung lässt sich der Vorhang zunächst viermal automatisch schließen, insgesamt wird der Vorhang jedoch genau zweimal von Hand zugezogen."

    (5 BE)

  • Das Prisma ist das Modell eines Holzkörpers, der auf einer durch die \(x_1x_2\)-Ebene beschriebenen horizontalen Fläche liegt. Der Punkt \(M\,(5|6{,}5|3)\) ist Mittelpunkt einer Kugel, die die Seitenfläche \(BSTC\) im Punkt \(W\) berührt.

    Berechnen Sie den Radius \(r\) der Kugel sowie die Koordinaten von \(W\,\).

    (Teilergebnis: \(r = 1{,}5\))

    (6 BE)

  • In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A\,(10|2|0)\), \(B\,(10|8|0)\), \(C\,(10|4|3)\), \(R\,(2|2|0)\), \(S\,(2|8|0)\) und \(T\,(2|4|3)\) gegeben. Der Körper \(ABCRST\) ist ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Grungfläche \(ABC\), der Deckfläche \(RST\) und rechteckigen Seitenflächen.

    Zeichen Sie das Prisma in ein kartesisches Koordinatensystem (vgl. Abbildung) ein. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Grundfläche \(ABC\,\)? Berechnen Sie das Volumen des Prismas.

    Abbildung: Koordinatensystem

    (6 BE)

  • Durch das Fenster einfallendes Sonnenlicht wird im Zimmer durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow v = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix}\) repräsentiert. Eine dieser Geraden verläuft durch den Punkt \(G\) und schneidet die Seitenwand \(OPQR\) im Punkt \(S\). Berechnen Sie die Koordinaten von \(S\) sowie die Größe des Winkels, den diese Gerade mit der Seitenwand \(OPQR\) einschließt.

    (6 BE)

  • Abbildung 2 zeigt ein quaderförmiges Möbelstück, das 40 cm hoch ist. Es steht mit seiner Rückseite flächenbündig an der Wand unter dem Fenster. Seine vordere Oberkante liegt im Modell auf der Geraden \(k \colon \enspace \overrightarrow X = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\,\).

    Abbildung 2: quaderförmiges MöbelstückAbb. 2

    Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 die Breite \(b\) des Möbelstücks möglichst genau.

    Bestimmen Sie mithilfe der Gleichung der Geraden \(k\) die Tiefe \(t\) des Möbelstücks und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

    (4 BE)

  • Die Punkte \(A\), \(B\) und \(T\) legen die Ebene \(H\) fest; diese zerlegt das Prisma ebenfalls in zwei Teilkörper. Beschreiben Sie die Form eines der beiden Teilkörper. Begründen Sie, dass die beiden Teilkörper nicht volumengleich sind.

    (3 BE)

  • Die Kugel rollt nun den Holzkörper hinab. Im Modell bewegt sich der Kugelmittelpunkt vom Punkt \(M\) aus parallel zur Kante \([CB]\) auf einer Geraden \(g\). Geben Sie eine Gleichung von \(g\) an und berechnen Sie im Modell die Länge des Wegs, den der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die Kugel die \(x_1x_2\)-Ebene berührt.

    (5 BE)

  • Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der von einem Kandidaten zu lösenden Aufgaben aus dem Fach Mathematik. Der Tabelle kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) entnommen werden. Ermitteln Sie den fehlenden Wert der Wahrscheinlichkeitsverteilung sowie den Erwartungswert von \(X\,\).

     

    \(\displaystyle x\) \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle 1\) \(\displaystyle 2\) \(\displaystyle 3\) \(\displaystyle 4\)
    \(\displaystyle P(X = x)\) \(\displaystyle \frac{1}{9}\) \(\displaystyle \frac{1}{3}\) \(\displaystyle \frac{13}{36}\)   \(\displaystyle \frac{1}{36}\)

     

    (3 BE)

  • Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt, wie oft der Mechanismus beim Schließen des Vorhangs im Verlauf einer Aufführung nicht funktioniert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von \(X\) um mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.

    (5 BE)

  • Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, den die Seitenkanten \([CA]\) und \([CB]\) einschließen.

    (3 BE)

  • Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der die Seitenfläche \(BSTC\) liegt, in Normalenform.

    (mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_2 + 4x_3 - 24 = 0\))

    (4 BE)

  • Das Fenster ist drehbar um eine Achse, die im Modell durch die Mittelpunkte der Strecken \([GH]\) und \([LK]\) verläuft. Die Unterkante des Fensters schwenkt dabei in das Zimmer; das Drehgelenk erlaubt eine zum Boden senkrechte Stellung der Fensterfläche.

    Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts \(M\) der Strecke \([GH]\) und bestätigen Sie rechnerisch, dass das Fenster bei seiner Drehung den Boden nicht berühren kann.

    (Teilergebnis: \(M\,(2|5|1{,}5)\))

    (4 BE)

  • Abbildung 1 zeigt modellhaft ein Dachzimmer in der Form eines geraden Prismas. Der Boden und zwei Seitenwände liegen in den Koordinatenebenen. Das Rechteck \(ABCD\) liegt in einer Ebene \(E\) und stellt den geneigten Teil der Deckenfläche dar.

    Abbildung 1: Modell eines DachzimmersAbb. 1

    Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

    (mögliches Ergebnis: \(E \colon x_2 + 2x_3 - 8 = 0\))

    (4 BE)

  • Für eine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik kommen zwei Kuverts zum Einsatz, die jeweils fünf Spielkarten enthalten. Es ist bekannt, dass das eine Kuvert genau zwei und das andere genau drei rote Spielkarten enthält. Der Showmaster wählt, jeweils zufällig, ein Kuvert und aus diesem zwei Karten aus.

    Bestätigen Sie rechnerisch, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden ausgewählten Karten rot sind, 20 % beträgt.

    (4 BE)

  • Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{R} \cup \overline{V}\) im Sachzusammenhang und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses.

    (4 BE)

  • Bestimmen Sie, wie viele Kandidaten an der Quizshow mindestens teilnehmen müssten, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % wenigstens ein Kandidat darunter ist, der keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss.

    (4 BE)

  • Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 m, d.h. das Zimmer ist an seiner höchsten Stelle 3 m hoch.

    Das Rechteck \(GHKL\) mit \(G\,(2|4|2)\) hat die Breite \(\overline{GL} = 1\,\). Es liegt in der Ebene \(E\), die Punkte \(H\) und \(K\) liegen auf der Geraden \(CD\,\). Das Rechteck stellt im Modell ein Dachfenster dar; die Breite des Fensterrahmens soll vernachlässigt werden.

    Geben Sie die Koordinaten der Punkte \(L\), \(H\) und \(K\) an und bestimmen Sie den Flächeninhalt des Fensters.

    (zur Kontrolle: \(\overline{GH} = \sqrt{5}\))

    (5 BE)

  • Für eine Quizshow sucht ein Fernsehsender Abiturientinnen und Abiturienten als Kandidaten. Jeder Bewerber gibt in einem online auszufüllenden Formular die Duchschnittsnote seines Abiturzeugnisses an.

    Insgesamt bewerben sich dreimal so viele weibliche wie männliche Personen, wobei 80 % der weiblichen und 75 % der männlichen Bewerber eine Durchschnittsnote von 1,5 oder besser angeben. Bestimmen Sie den Anteil der Personen unter allen Bewerbern, die eine schlechtere Durchschnittsnote als 1,5 angeben.

    (4 BE)

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