Mathematik Abitur Bayern 2016

  • Zeigen Sie, dass \(\displaystyle F(b) = \int_{3}^{b} f(x) \, dx\) mit \(b \in \mathbb R\) gilt.

    (2 BE)

  • Die Funktion \(F\) ist die in \(\mathbb R\) definierte Stammfunktion von \(f\) mit \(F(3) = 0\).

    Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von \(F\) an der Stelle \(x = 2\) an.

    (1 BE)

  • Die Abbildung zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\).

    Abbildung zu Teilaufgabe 5 - Analysis 1 - Prüfungsteil A . Mathematik Abitur Bayern 2016

    Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{3}^{5} f(x) \,dx\).

    (2 BE)

  • Begründen Sie, dass \(2{,}5\) die \(x\)-Koordinate des Wendepunkts von \(G_{f}\) ist.

    (2 BE)

  • Gegeben ist eine in \(\mathbb R\) definierte ganzrationale Funktion \(f\) dritten Grades, deren Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 1\) einen Hochpunkt und an der Stelle \(x = 4\) einen Tiefpunkt besitzt.

    Begründen Sie, dass der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) eine Parabel ist, welche die \(x\)-Achse in den Punkten \((1|0)\) und \((4|0)\) schneidet und nach oben geöffnet ist.

    (3 BE)

  • Skizzieren Sie im Bereich \(-1 \leq x \leq 4\) den Graphen einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) mit den folgenden Eigenschaften:

    ● \(f\) ist nur an der Stelle \(x = 3\) nicht differenzierbar.

    ● \(f(0)\) = 2 und für die Ableitung \(f'\) von \(f\) gilt: \(f'(0) = -1\).

    ● Der Graph von \(f\) ist im Bereich \(-1 < x < 3\) linksgekrümmt.

    (3 BE)

  • Zeigen Sie, dass der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto x^{2} \cdot \sin{x}\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und geben Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} x^{2} \cdot \sin{x}\, dx\) an.

    (3 BE)

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{1 - \ln{x}}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\).

    Bestimmen Sie \(D\).

    (2 BE)

  • Die Abbildung zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\).

    Abbildung zu Teilaufgabe 5 - Analysis 1 - Prüfungsteil A . Mathematik Abitur Bayern 2016

    Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{3}^{5} f(x) \,dx\).

    (2 BE)

  • Geben Sie jeweils den Term und den Definitionsbereich einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

    Der Punkt \((2|0)\) ist ein Wendepunkt des Graphen von \(g\).

    (2 BE)

  • Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{k}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(k\). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(k'\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für die Steigung des Graphen \(G_{k}\) an dessen Wendepunkt \((0|-3)\) sowie die Nullstelle von \(k'\).

    Abbildung 2 zu Teilaufgabe 4 - Analysis 2 - Prüfungsteil A - Mathematik Abitur Bayern 2016

    Abb. 2

    (4 BE)

  • Die Funktion \(F\) ist die in \(\mathbb R\) definierte Stammfunktion von \(f\) mit \(F(3) = 0\).

    Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von \(F\) an der Stelle \(x = 2\) an.

    (1 BE)

  • Der Graph der Funktion \(h\) ist streng monoton fallend und rechtsgekrümmt.

    (2 BE)

  • Ermitteln Sie die \(x\)-Koordinate des Punkts, in dem der Graph von \(f\) eine waagrechte Tangente hat.

    (4 BE)

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{\ln{x}}{x^{2}}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).

    Geben Sie \(D\) sowie die Nullstelle von \(f\) an und bestimmen Sie \(\lim \limits_{x \, \to \, 0} f(x)\).

    (3 BE)

  • Zeigen Sie, dass \(\displaystyle F(b) = \int_{3}^{b} f(x) \, dx\) mit \(b \in \mathbb R\) gilt.

    (2 BE)

  • Die Zufallsgröße \(X\) ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).

    (3 BE)

  • Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl \((Z)\) oder zum zweiten Mal Wappen \((W)\) oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt: \(\{ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW\}\).

    Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.

    (2 BE)

  • Die beiden Baumdiagramme gehören zum selben Zufallsexperiment mit den Ereignissen \(A\) und \(B\).

    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P(B)\) und ergänzen Sie anschließend an allen Ästen des rechten Baumdiagramms die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

     

    Abbildung Baumdiagramm links zu Teilaufgabe 1 - Stochastik 1 - Prüfungsteil A - Mathematik Abitur Bayern 2016
    Abbildung Baumdiagramm rechts zu Teilaufgabe 1 - Stochastik 1 - Prüfungsteil A - Mathematik Abitur Bayern 2016

     

    (Teilergebnis: \(P(B) = 0{,}5\))

    (5 BE)

  • Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den folgenden Term berechnet werden kann.

    \[\dfrac{\displaystyle \binom{14}{4} - \binom{6}{4}}{\displaystyle \binom{14}{4}}\]

    (2 BE)

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