Spiegelung von Funktionsgraphen

  • Abbildung Aufgabe 1 Klausur Q12/2-001

    Die Abbildung zeigt je einen Ausschnitt des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x + 2} - 2\) und des Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g \colon x \mapsto -\sqrt{4 - x} + 4\).

    a) Beschreiben Sie schrittweise wie der Graph \(G_{f}\) und der Graph \(G_{g}\) jeweils aus dem Graphen der Funktion \(x \mapsto \sqrt{x}\) hervorgeht und bestimmen Sie jeweils die maximale Definitionsmenge der Funktionen \(f\) und \(g\) durch Rechnung.

    Betrachtet wird die Strecke \([PQ]\) der Punkte \(P(x|f(x))\) und \(Q(x|g(x))\) mit derselben Abszisse.

    b) Zeigen Sie, dass der Funktionsterm \(d(x) = -\sqrt{4 - x} -\sqrt{x + 2} + 6\) die Länge der Strecke \([PQ]\) in Abhängigkeit der \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) bzw. \(Q\) beschreibt, und geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(d\) an.

    c) Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) bzw. \(Q\), für die die Länge der Strecke \([PQ]\) minimal ist.

    Die Gerade \(x = -1\) und die Gerade \(x = 3\) schließen mit den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

    d) Der Flächeninhalt \(A\) soll zunächst näherungsweise berechnet werden. Hierfür wird das Viereck \(SPQR\) betrachtet, welches die Punkte \(S(-1|f(-1))\), \(P(3|f(3))\), \(Q(3|g(3))\) und \(R(-1|g(-1))\) festlegen. Der Schnittpunkt der Strecken \([PR]\) und \([QS]\) halbiert die Strecken jeweils.

    Zeichnen Sie das Viereck \(SPQR\) in die Abbildung ein und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines geeigneten Lösungsverfahrens, um \(A\) näherungsweise zu berechnen.

    e) Berechnen Sie den exakten Wert des Flächeninhalts \(A\).

    f) Betrachtet wird nun die Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{0}^{x} d(t) dt\).

    Geben Sie an, welche der folgenden Terme die Maßzahl des Flächeninhalts \(A\) berechnen (Falsche Antworten zählen negativ).

      (I)  \(I(-1) + I(3)\)

     (II)  \(I(-1) - I(3)\)

    (III)  \(I(3) - I(-1)\)

    (IV)  \(\vert I(-1) \vert - \vert I(3) \vert\)

     (V)  \(\vert I(-1) \vert + I(3)\)

    (VI)  \(I(-1) + \vert I(3) \vert\)

  • Berechnen Sie die Funktionswerte \(p(0)\), \(p(\pi)\), \(p(2\pi)\), \(p(3\pi)\) und \(p(4\pi)\). Zeichnen Sie für \(x \geq 0\) den Graphen von \(p\) sowie den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(-p\,\colon x \mapsto -p(x)\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ereignisse in die Abbildung ein.

    (4 BE)

  • Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat.

    Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x \mapsto \sin x\) durch Spiegelung an der y-Achse hervor.

    (1 BE)

  • Erläutern Sie, dass die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto 4 - e^x\) den Wertebereich \(]-\infty;4[\) besitzt.

    (2 BE)

  • Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

    Die Funktion \(g\) hat die maximale Definitionsmenge \(]-\infty;5[\). 

    (2 BE)

  • Der Graph der Funktion \(h\) ist streng monoton fallend und rechtsgekrümmt.

    (2 BE)

  • Durch Spiegelung von \(G_{f}\) an der Geraden \(x = 4\) entsteht der Graph einer in \(]-\infty;8[\) definierten Funktion \(g\). Dieser Graph wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.

    Zeichnen Sie \(G_{g}\) in Abbildung 1 ein.

    (2 BE)

  • Die beschriebene Spiegelung von \(G_{f}\) an der Geraden \(x = 4\) kann durch eine Spiegelung von \(G_{f}\) an der \(y\)-Achse mit anschließender Verschiebung ersetzt werden. Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie \(a, b \in \mathbb R\) an, sodass \(g(x) = f(ax + b)\) für \(x \in \; ]-\infty;8[\) gilt.

    (3 BE)

  • Beschreiben Sie, wie \(G_{f}\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Funktion \(x \mapsto \ln{x}\) hervorgeht. Erklären Sie damit das Monotonieverhalten von \(G_{f}\).

    (5 BE)

  • Abbildung 1 zeigt ein Hinderniselement in einem Skate-Park.

    Abbildung 1 Aufgabe 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 BAbb. 1

    Die Auffahrt des symmetrischen Hinderniselements geht in ein horizontal verlaufendes Plateau über, an das sich die Abfahrt anschließt. Die vordere und die hintere Seitenfläche verlaufen senkrecht zum horizontalen Untergrund. Um die vordere Seitenfläche mathematisch beschreiben zu können, wird ein kartesisches Koordinatensystem so gewählt, dass die \(x\)-Achse die untere Begrenzung und die \(y\)-Achse die Symmetrieachse der betrachteten Fläche darstellt. Das Plateau erstreckt sich im Modell im Bereich \(-2 \leq x \leq 2\). Die Profillinie der Abfahrt wird für \(2 \leq x \leq 8\) durch den Graphen der in Aufgabe 1 untersuchten Funktion f beschrieben (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

    Abbildung 2 Aufgabe 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 BAbb. 2

    Erläutern Sie die Bedeutung des Funktionswerts \(f(2)\) im Sachzusammenhang und geben Sie den Term der Funktion \(q\) an, deren Graph \(G_{q}\) für \(-8 \leq x \leq -2\) die Profillinie der Auffahrt im Modell beschreibt. 

    (2 BE)

  • Die Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{f}\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto -cos(\frac{\pi}{2}x)\).
    Beschreiben Sie, wie \(G_{f}\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x \mapsto \cos{x}\) hervorgeht, und berechnen Sie durch Integration von \(g\) einen weiteren Näherungswert für \(F(1)\).

    Abbildung 2 Analysis 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

    (zur Kontrolle: \(F(1) \approx -\frac{2}{\pi}\))

    (5 BE)

  • Abbildung 2 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\), dessen einzige Extrempunkte \((-1|1)\) und \((0|0)\) sind, sowie den Punkt \(P\).

    Abbildung 2 Analysis 1 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2023Abb. 2

    Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h(x) = -g(x - 3)\) an.

    (2 BE) 

  • Abbildung 2 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\), dessen einzige Extrempunkte \((-1|1)\) und \((0|0)\) sind, sowie den Punkt \(P\).

    Abbildung 2 Analysis 1 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2023Abb. 2

    Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h(x) = -g(x - 3)\) an.

    (2 BE) 

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5\). Die Abbildung zeigt den in \(\mathbb R\) streng monoton fallenden Graphen \(G_h\) von \(h\) sowie dessen Asymptote, die durch die Gleichung \(y = 1{,}5\) gegeben ist.

    Beschreiben Sie, wie \(G_h\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten natürlichen Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) hervorgeht.

    Abbildung Teilaufgabe 2a: Exponetialfunktion h, streng monoton fallend, Asymptote =1,5

    (4 BE)

  • Betrachtet wird die in \(\mathbb R^+\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto -\ln x + 3\,\).

    Geben Sie an, wie der Graph von \(h\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Funktion \(x \mapsto \ln x\) hervorgeht

    (2 BE)

  • Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g \colon x \mapsto e^{-x}\) und \(h \colon x \mapsto x^3\).

    Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, dass die Graphen von \(g\) und \(h\) genau einen Schnittpunkt haben.

    (2 BE)