Stochastische (Un)Abhängigkeit von zwei Ereignissen

Beim Fernsehsender „Sport TV" treten bei Live-Übertragungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % Bildstörungen auf. Wenn das Bild gestört ist, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % auch zu Tonstörungen. Bei 13,6 % der Übertragungen kommt es zu Bild- oder Tonstörungen.

Betrachte werden folgende Ereignisse:

\(B\): „Es tritt eine Bildstörung bei der Live-Übertragung auf",

\(T\): „Es tritt eine Tonstörung bei der Live-Übertragung auf".

a) Zeigen Sie, dass bei 12 % aller Live-Übertragungen Tonstörungen auftreten.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Live-Übertragung

1. ein einwandfreies Bild empfangen wird, falls der Ton gestört ist.
2. Bild oder Ton einwandfrei empfangen werden.

c) Untersuchen Sie, ob die Ereignisse \(B\) und \(T\) stochastisch unabhängig sind.

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = -\dfrac{3}{x - 2}\).

a) Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f(x)\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x)\). Beschreiben Sie Ihre Ergebnisse in Worten und interpretieren Sie diese graphisch.

b) Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch Verschiebung in \(x\)-Richtung und in \(y\)-Richtung hervor, wobei er die Asymptoten mit den Gleichungen \(x = 3\) und \(y = -2\) besitzt. Geben Sie die zugehörige Verschiebung in \(x\)-Richtung und in \(y\)-Richtung an sowie einen Funktionsterm von \(g\).

c) Der Graph der Funktion \(h\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch eine Streckung mit dem Faktor 3 in \(y\)-Richtung und eine anschließende Verschiebung um 2 in \(y\)-Richtung. Der Graph der Funktion \(k\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch die angegebene Streckung und Verschiebung in umgekehrter Reihenfolge. Entscheiden Sie, ob folgende Aussage richtig ist: „Die Funktionsterme von \(h\) und \(k\) unterscheiden sich." Begründen Sie ihre Entscheidung.

 

Aufgabe 2

a) Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Erläutern Sie anhand des Graphen, ob die Funktion \(f\) an den Stellen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) jeweils stetig ist.

b) Gegeben ist die Funktion

\[g \colon x \mapsto \begin{cases} \begin{align*} &ax + a &&\text{für} \; x < 1 \\[0.8em] &-2 &&\text{für}\;1 \leq x < 5 \\[0.8em] &b \cdot (x^3 - 10x^2 + 25x)-2 &&\text{für}\;x \geq 5 \end{align*} \end{cases}\enspace\text{mit}\;a, b \in \mathbb R\]

Bestimmen Sie den Wert von \(a\) so, dass \(g\) an der Stelle \(x = 1\) stetig ist und zeigen Sie, dass \(g\) an der Stelle \(x = 5\) unabhängig vom Wert von \(b\) stetig ist.

  

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x(x-3)}{(x-2)^2}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\).

a) Geben Sie \(D_f\) an und entscheiden Sie, welcher der Graphen I bis IV den Graphen der Funktion \(f\) darstellt. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

 

b) Graph IV zeigt den Graphen einer gebrochenrationalen Funktion \(g\), der eine schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = -x + 4\) besitzt. Die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von \(g\) mit den Koordinatenachsen sowie die Polstelle von \(g\) sind ganzzahlig.

Geben Sie an, welcher der folgenden Funktionsterme die Funktion \(g\) beschreibt.

 

Aufgabe 4

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{-2x-4}{x^3+6x^2+9x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

a) Geben Sie die Nullstelle von \(f\) an. Untersuchen Sie \(f\) auf Polstellen und geben Sie \(D_f\) an. Bestimmen Sie das Verhalten von \(G_f\) an den Definitionslücken.

b) Untersuchen Sie \(G_f\) auf schräge oder waagrechte Asymptoten.

c) Berechnen Sie \(f(-4)\) und \(f(1)\) und zeichnen Sie \(G_f\) im Bereich \(-7 < x < 4\) in ein Koordinatensystem.

 

Aufgabe 5

a) Bestimmen Sie den Grenzwert \(\lim \limits_{x\,\to\,2} f(x)\) mit \(f(x) = \dfrac{4x^2-6x-4}{x-2}\).

(Zwischenergebnis: \(x = 2\) ist Nullstelle von \(f\))

b) Die Grenzwertbetrachtung lässt auf eine besondere Eigenschaft der gebrochrationalen Funktion \(f\) schließen. Geben sie diese an und beschreiben Sie kurz wie sich der Graph von \(f\) an der Stelle \(x = 2\) verhält.

 

Aufgabe 6

Beim Fernsehsender „Sport TV" treten bei Live-Übertragungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % Bildstörungen auf. Wenn das Bild gestört ist, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % auch zu Tonstörungen. Bei 13,6 % der Übertragungen kommt es zu Bild- oder Tonstörungen.

Betrachte werden folgende Ereignisse:

\(B\): „Es tritt eine Bildstörung bei der Live-Übertragung auf",

\(T\): „Es tritt eine Tonstörung bei der Live-Übertragung auf".

a) Zeigen Sie, dass bei 12 % aller Live-Übertragungen Tonstörungen auftreten.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Live-Übertragung

1. ein einwandfreies Bild empfangen wird, falls der Ton gestört ist.
2. Bild oder Ton einwandfrei empfangen werden.

c) Untersuchen Sie, ob die Ereignisse \(B\) und \(T\) stochastisch unabhängig sind.

Ein Unternehmen fertigt in großer Stückzahl ein elektronisches Bauteil. Bei der Herstellung können zwei Arten von Fehlern auftreten, ein elektrischer Fehler und ein optischer Fehler. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(E\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen elektrischen Fehler auf."

\(O\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen optischen Fehler auf."

Aus laufender Qualitätskontrolle ist bekannt, dass 5 % der gefertigten Bauteile einen elektrischen Fehler aufweisen. Zudem haben 3 % einen elektrischen, aber keinen optischen Fehler sowie 4 % einen optischen, aber keinen elektrischen Fehler.

 

a) Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{E \cup O}\) im Sachzusammenhang.

b) Erstellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel und geben Sie daraus an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewähltes Bauteil

α) genau einen der beiden Fehler aufweist.

β) höchstens einen der beiden Fehler aufweist.

c) Untersuchen Sie die Ereignisse \(E\) und \(O\) auf Unabhängigkeit.

d) Wie viele Bauteile müssen mindestens zufällig ausgewählt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein Bauteil zu erhalten, das einen elektrischen Fehler aufweist?

Aufgabe 1

Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen:

 

a) \(f(x) = (3x + 2) \cdot \sqrt{\dfrac{1}{x} + 2}; \; x \neq 0\)

b) \(g(x) = e^{\frac{\cos{x}}{x}}; \; x \neq 0\)

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2x^{2} \cdot \sin{x}\).

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\).

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto x \cdot \sqrt{k - 2x}\) mit \(k \in \mathbb R^{+}\).

 

a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge von \(f_{k}\) in Abhängigkeit des Parameters \(k\) an.

b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten der Kurvenschar von \(f_{k}\) bezüglich des Koordinatensystems.

c) Untersuchen Sie das Verhalten von \(f_{k}\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

d) Weisen Sie nach, dass für die Ableitung von \(f_{k}\) gilt: \(f'_{k}(x) = \dfrac{k - 3x}{\sqrt{k - 2x}}\).

Im Folgenden sei \(k = 4\). Der Graph der Funktion \(f_{4}\) wird mit \(G_{f_{4}}\) bezeichnet.

e) Mithilfe des Ansatzes \(x = f_{4}(x)\) lässt sich der Schnittpunkt des Graphen \(G_{f_{4}}\) mit dem Graphen der Umkehrfunktion von \(f_{4}\) ermitteln. Beschreiben Sie die Idee dieses Ansatzes. Eine Berechnung ist nicht erforderlich!

f) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \(f_{4}\) unter Berücksichtigung des maximalen Definitionsbereichs und bestimmen Sie die Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f_{4}}\).

 

Aufgabe 4

Gegeben sind die Punkte \(A(4|-2|-1)\), \(B(2|4|5)\) und \(C(5|-6|3)\).

 

a) Ermitteln Sie die Größe des Innenwinkels \(\alpha\) des Dreiecks \(ABC\).

b) Geben Sie die Gleichung der Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(C\) in Koordinatendarstellung an, auf deren Oberfläche der Punkt \(A\) liegt. Untersuchen Sie mithilfe der Kugelgleichung, ob der Punkt \(B\) innerhalb der Kugel \(K\), auf der Kugeloberfläche von \(K\) oder außerhalb von \(K\) liegt.

 

Aufgabe 5

Ein Unternehmen fertigt in großer Stückzahl ein elektronisches Bauteil. Bei der Herstellung können zwei Arten von Fehlern auftreten, ein elektrischer Fehler und ein optischer Fehler. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(E\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen elektrischen Fehler auf."

\(O\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen optischen Fehler auf."

Aus laufender Qualitätskontrolle ist bekannt, dass 5 % der gefertigten Bauteile einen elektrischen Fehler aufweisen. Zudem haben 3 % einen elektrischen, aber keinen optischen Fehler sowie 4 % einen optischen, aber keinen elektrischen Fehler.

 

a) Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{E \cup O}\) im Sachzusammenhang.

b) Erstellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel und geben Sie daraus an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewähltes Bauteil

α) genau einen der beiden Fehler aufweist.

β) höchstens einen der beiden Fehler aufweist.

c) Untersuchen Sie die Ereignisse \(E\) und \(O\) auf Unabhängigkeit.

d) Wie viele Bauteile müssen mindestens zufällig ausgewählt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein Bauteil zu erhalten, das einen elektrischen Fehler aufweist?

Aufgabe 1

Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich.

a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\)

b) \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\)

c) \(h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\)

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{\left( -\dfrac{3}{x} \right)}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{f}\).

b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass \(G_{f}\) in \(D_{f}\) linksgekrümmt ist.

 

Aufgabe 3

 

Aufgabe 4

Gegeben sind die Kugel \(K_{1}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{1}(-3|5|8)\) und dem Radius \(r_{1} = 3\) sowie die Kugel \(K_{2}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{2}(7|-5|3)\) und dem Radius \(r_{2} = 7\).

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kugeln \(K_{1}\) und \(K_{2}\) und berechnen Sie ggf. den Abstand der beiden Kugeln.

 

Aufgabe 5

Bei der Herstellung wiederaufladbarer Batterien treten zwei Fehler auf.

\(A\): Die Abmessung der Batterie weicht von der Typennorm ab.

\(L\): Die Ladekapazität der Batterie liegt 20 % unter dem Sollwert.

Laut Qualitätskontrolle weisen 15 % der Batterien den Fehler \(L\) auf und 5 % den Fehler \(A\). Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Fehler auftritt, wird mit 17 % angegeben.

a) Beschreiben Sie folgende Ereignisse im Sachzusammenhang:

α) \(\overline{\overline{A} \cap \overline{L}}\)

β) \((A \cap \overline{L}) \cup (\overline{A} \cap L)\)

b) Erstellen Sie eine den Sachverhalt beschreibende vollständig ausgefüllte Vierfeldertaffel.

c) Zeigen Sie dass die Ereignisse \(A\) und \(L\) stochastisch abhängig sind.

d) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm, beginnend mit dem Ereignis \(A\). Beschreiben Sie, woran sich die stochastische Abhängigkeit der Ereignisse \(A\) und \(L\) an diesem Baumdiagramm erkennen lässt.

Bei der Herstellung wiederaufladbarer Batterien treten zwei Fehler auf.

\(A\): Die Abmessung der Batterie weicht von der Typennorm ab.

\(L\): Die Ladekapazität der Batterie liegt 20 % unter dem Sollwert.

Laut Qualitätskontrolle weisen 15 % der Batterien den Fehler \(L\) auf und 5 % den Fehler \(A\). Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Fehler auftritt, wird mit 17 % angegeben.

a) Beschreiben Sie folgende Ereignisse im Sachzusammenhang:

α) \(\overline{\overline{A} \cap \overline{L}}\)

β) \((A \cap \overline{L}) \cup (\overline{A} \cap L)\)

b) Erstellen Sie eine den Sachverhalt beschreibende vollständig ausgefüllte Vierfeldertaffel.

c) Zeigen Sie dass die Ereignisse \(A\) und \(L\) stochastisch abhängig sind.

d) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm, beginnend mit dem Ereignis \(A\). Beschreiben Sie, woran sich die stochastische Abhängigkeit der Ereignisse \(A\) und \(L\) an diesem Baumdiagramm erkennen lässt.

Von den im einleitenden Text angegebenen Zahlenwerten soll nur der Prozentsatz 40 % so geändert werden, dass die Ereignisse \(A\) und \(R\) unabhängig sind. Geben Sie den geänderten Wert an.

(2 BE)

Begründen Sie, dass die Ereignisse \(A\) und \(R\) abhängig sind.

(2 BE)

Weisen Sie nach, dass die Ereignisse \(C\) und \(D\) abhängig sind.

(2 BE)

Von den im Baumdiagramm angegebenen Zahlenwerten soll nur der Wert \(\frac{\sf{1}}{\sf{10}}\) so geändert werden, dass die Ereignisse \(C\) und \(D\) unabhängig sind. Bestimmen Sie den geänderten Wert.

(2 BE)

Begründen Sie, dass die Ereignisse „Eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person besitzt ein Fernsehgerät." und „Eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person ist ein Mädchen." abhängig sind.

(2 BE)

 

(3 BE)

Im Vorfeld einer Wahl wird eine wahlberechtigte Person zufällig ausgewählt und befragt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(C\): „Die Person ist älter als 50 Jahre."

\(D\): „Die Person will die derzeitige Regierungspartei wählen."

Erläutern Sie, was in diesem Sachzusammenhang eine stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse \(C\) und \(D\) bedeuten würde.

(2 BE)

Auf einem Abschnitt einer wenig befahrenen Landstraße ist eine Höchstgeschwindigkeit von 80 km/h zugelassen. An einer Stelle dieses Abschnitts wird die Geschwindigkeit vorbeifahrender Pkw gemessen. Im Folgenden werden vereinfachend nur solche Fahrten betrachtet, bei denen die Fahrer die Geschwindigkeit unabhängig voneinander wählen konnten.

Für die ersten 200 erfassten Fahrten ergab sich nach Einteilung in Geschwindigkeitsklassen die folgende Verteilung:

Bei 62 % der 200 Fahrten war der Fahrer allein unterwegs, 65 dieser Alleinfahrer fuhren zu schnell. Aus den 200 Fahrten wird eine zufällig ausgewählt. Es werden folgende Ereignisse betrachtet:

\(A\):  „Der Fahrer war allein unterwegs."

\(S\):  „Der Pkw war zu schnell."

Weisen Sie nach, dass die Ereignisse \(A\) und \(S\) stochastisch abhängig sind, und geben Sie hierfür einen möglichen Grund im Sachzusammenhang an.

(5 BE)

 

(3 BE)

In einer Gemeinde gibt es 6250 Haushalte, von denen 2250 über einen schnellen Internetanschluss verfügen. Zwei Drittel der Haushalte, die über einen schnellen Internetanschluss verfügen, besitzen auch ein Abonnement eines Streamingdiensts. 46 % aller Haushalte verfügen weder über einen schnellen Internetanschluss noch besitzen sie ein Abonnement eines Streamingdiensts.

Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

\(A\): „Ein zufällig ausgewählter Haushalt verfügt über einen schnellen Internetanschluss."

\(B\): „Ein zufällig ausgewählter Haushalt besitzt ein Abonnement eines Streamingdiensts,"

Stellen Sie zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf und überprüfen Sie, ob die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.

(5 BE)

Neben dem Fußballturnier werden für die Schülerinnen und Schüler auch ein Elfmeterschießen und ein Torwandschießen angeboten.

Dafür konnten sich Kinder in zwei Listen eintragen. 45 % der Kinder haben sich sowohl für das Torwandschießen als auch für das Elfmeterschießen eingetragen, 15 % haben sich nur für das Elfmeterschießen eingetragen. 90 % der Kinder, die sich für das Torwandschießen eingetragen haben, haben sich auch für das Elfmeterschießen eingetragen. Aus den Kindern wird eines zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

\(T\): „Das Kind hat sich für das Torwandschießen eingetragen."

\(E\): „das Kind hat sich für das Elfmeterschießen eingetragen."

Untersuchen Sie die Ereignisse \(T\) und \(E\) auf stochastiche Unabhängigkeit.

(4 BE)

Die SMV eines Gymnasium initiierte im vergangenen Schuljahr die Aktionen „Baumpatenschaft" und „Umweltwoche".

Mit einer Umfrage auf dem Schulfest wird der Bekanntheitsgrad der beiden Aktionen ermittelt. Von den Befragten kennt jeder Fünfte die Aktion „Baumpatenschaft". 24 % der Befragten kennen keine der beiden Aktionen; die Aktion „Umweltwoche" kennen 30 % der Befragten nicht.

Aus den Befragten wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(B\): „Die Person kennt die Aktion ,Baumpatenschaft'."

\(U\): „Die Person kennt die Aktion ,Umweltwoche'."

Weisen Sie nach, dass die Ereignisse \(B\) und \(U\) stochastisch unabhängig sind.

(4 BE)

Geben Sie für den Fall, dass die ausgewählte Person die Aktion „Baumpatenschaft" kennt, die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sie die Aktion „Umweltwoche" nicht kennt.

(1 BE)