Auf der Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau.
An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) mit
\(f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left( 1 - \frac{x}{4} \right)^2 = -\frac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x\)
beschrieben werden. Dabei gibt \(x\) die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und \(f(x)\) die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometern pro Stunde an. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\) für \(0 \leq x \leq 4\).
Für die erste Ableitungsfunktion von \(f\) gilt \(f'(x) = (5x^2-16x+8) \cdot \left( 1 - \frac{x}{4} \right)\).
Abb. 1
Nennen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat, und begründen Sie anhand der Struktur des Funktionsterms von \(f\), dass es keine weitere solchen Zeitpunkte gibt.
(3 BE)