Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f : x \mapsto \frac{2x + 3}{4x + 5}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\). Geben Sie \(D\) an und ermitteln Sie einen möglichst einfachen Funktionsterm für die Ableitung \(f'\) von \(f\).
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1
Maximale Definitionsmenge \(D_f\)
Die Nullstelle des Nennerterms bestimmt die maximale Definitionsmenge der Funktion \(f\).
\[f(x) = \frac{2x + 3}{4x + 5}\]
\[\Longrightarrow \quad 4x + 5 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = -1{,}25 \quad \Longrightarrow \quad D_f = \mathbb R \backslash \{-1{,}25\}\]
Erste Ableitung \(f'(x)\)
Quotientenregel
\[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}f(x) = \frac{2x + 3}{4x + 5} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) &= \frac{2 \cdot (4x + 5) - (2x + 3) \cdot 4}{(4x +5)^2} \\[0.8em] &= \frac{8x + 10 -8x -12}{(4x + 5)^2} \\[0.8em] &= -\frac{2}{(4x + 5)^2}\end{align*}\]
