Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe b
![Abbildung 2 Geometrie 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022, farbige Hervorhebung der Diagonalen [AB] und [CD]](/images/stories/B2022_PT_B_G2/B2022_PT_B_G2_b.png)
Abb. 2
Da die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) die Eckpunkte eines Quaders sind (vgl. Angabe), haben die Diagonalen \(\textcolor{#cc071e}{[AB]}\) und \(\textcolor{#cc071e}{[CD]}\) die gleiche Länge.
\(A(11|11|0)\), \(B(-11|11|28)\), \(C(11|-11|28)\), \(D(-11|-11|0)\)
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\overline{AB} &= \vert\overrightarrow{AB}\vert = \vert \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \vert = \left| \begin{pmatrix} -11 \\ 11 \\ 28 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} -22 \\ 0 \\ 28 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(-22)^2 + 0^2 + 28^2} = \sqrt{1268} = 2\sqrt{317}\end{align*}\]
\[\begin{align*}\overline{BC} &= \vert\overrightarrow{BC}\vert = \vert \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \vert = \left| \begin{pmatrix} 11 \\ -11 \\ 28 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -11 \\ 11 \\ 28 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 22 \\ -22 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{22^2 + (-22)^2 + 0^2} = \sqrt{968} = 22\sqrt{2}\end{align*}\]
\[\begin{align*}\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} &= \textcolor{#cc071e}{2} \cdot \textcolor{#cc071e}{\overline{AB}} + \overline{BC} \\[0.8em] &= 2 \cdot 2\sqrt{317} + 22\sqrt{2} \\[0.8em] &\approx 102{,}33 \end{align*}\]
Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Wirklichkeit (vgl. Angabe).
Der Streckenzug hat eine reale Länge von ungefähr 102,33 Meter.
