Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass \(J\) mindestens zwei Nullstellen besitzt.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1g
\[J(x) = \int_{-2}^x f(t)dt; \; D_J = ]-3;+\infty[\]
1. Nullstelle
Die Integralfunktion \(J\) hat an der unteren Integrationsgrenze eine Nullstelle.
Nullstelle einer Integralfunktion
Jede Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t)\, dt\) besitzt an der unteren Integrationsgrenze \(x = a\) eine Nullstelle.
\[I_{a}(a) = \int_{a}^{a} f(t) \, dt = F(a) - F(a) = 0\]
\(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\).
Mit \(\displaystyle J(-2) = \int_{-2}^{-2}f(t)dt = 0\) ist \(x_1=-2\) eine Nullstelle von \(J\).
2. Nullstelle
Die Integralfunktion \(J\) hat für \(x > 2\) eine zweite Nullstelle \(x_2\).
Im Bereich \(-2 \leq x \leq 2\) schließt \(G\) mit der \(x\)-Achse ein Flächenstück mit Inhalt \(\textcolor{#cc071e}{\approx 4\,\textsf{FE}}\) ein, das unterhalb der \(\textcolor{#cc071e}{x}\)-Achse liegt (vgl. Teilaufgabe 1e).
Für \(x > 2\) verläuft \(G\) oberhalb der \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Achse und oberhalb der Gerade mit der Gleichung \(y = x-3\) (schräge Asymptote, vgl. Teilaufgaben 1a,b). Somit schließt \(G\) für \(x > 2\) mit der \(x\)-Achse eine Fläche ein, deren Inhalt unendlich ist.
Folglich gibt es eine Stelle \(x_2 > 2\), sodass \(J(x_2) = \displaystyle \int_{-2}^{x_2} f(t)dt = 0\) gilt, da die Flächenbilanz der oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse liegenden Flächen null ist.
\[J(x_2) = \int_{-2}^{x_2} f(t)dt = \textcolor{#cc071e}{\underbrace{\int_{-2}^2 f(t)dt}_{\approx\, - 4}} + \textcolor{#0087c1}{\underbrace{\int_{2}^{x_2}f(t)dt}_{\approx\, + 4}} = 0\]
Also besitzt die Integralfunktion \(J\) mindestens zwei Nullstellen.
Anmerkung
Die Abbildung zu Aufgabe 1 zeigt den Verlauf des Graphen \(G\) der Funktion \(f\) im Bereich \(-3{,}5 \leq x \leq 3{,}5\). Die Information aus Teilaufgabe 1b, dass \(G\) für \(x > -3\) oberhalb der Gerade mit der Gleichung \(y = x-3\) verläuft, ist ein wichtiger Hinweis dafür, dass die Fläche, die \(\textcolor{#0087c1}{G}\) für \(\textcolor{#0087c1}{x > 2}\) mit der \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Achse einschließt, im nicht abgebildeten Bereich \(x > 3{,}5\) ins Unendliche wächst und deshalb eine 2. Nullstelle \(x_2\) von \(J\) existiert.