Abiturlösungen Mathematik Bayern 2016

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Berechnen Sie \(f(4)\), im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse \(G_{f}\) im Bereich \(-4 \leq x \leq 4\) in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1f

 

Funktionswert berechnen, Funktionsgraph zeichnen

 

\[f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D = \mathbb R\]

 

Funktionswert \(f(4)\)

 

\[f(4) = e^{\frac{1}{2} \cdot 4} + e^{-\frac{1}{2} \cdot 4} = e^{2} + e^{-2} \approx 7{,}52\]

 

Zeichnen von \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse

 

Bisherige Ergebnisse:

  • \(G_{f}\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und verläuft oberhalb der \(x\)-Achse. (vgl. Teilaufgabe 1a,b)
  • Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(S_{y}(0|2)\) ist Tiefpunkt \(TiP(0|2)\) von \(G_{f}\) (vgl. Teilaufgabe 1b,d)
  • \(G_{f}\) ist in \(\mathbb R\) linksgekrümmt (vgl. Teilaufgabe 1c).
  • \(G_{f}\) verläuft für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\) (vgl. Teilaufgabe 1b).
  • Steigung der Tangente \(g\) an \(G_{f}\) im Punkt \(P(2|3{,}1)\): \(m_{g} = 1{,}2\) (vgl. Teilaufgabe 1e).
  • \(G_{f}\) verläuft durch den Punkt \((4|7{,}52)\) (vgl. oben).

 

Graph der Funktion f, Tangente g an den Graphen der Funktion f im Punkt P

Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}\) und Tangente \(g\) an \(G_{f}\) im Punkt \(P\)