Im Eingangsbereich des Freizeitparks können Bollerwagen ausgeliehen werden. Erfahrungsgemäß nutzen 15 % der Familien dieses Angebot. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Bollerwagen, die von den ersten 200 Familien, die an einem Tag den Freizeitpark betreten, entliehen werden. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass eine Familie höchstens einen Bollerwagen ausleiht und dass die Zufallsgröße \(X\) binomialverteilt ist.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 Bollerwaagen ausgeliehen werden.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
\(X\): Anzahl der Bollerwagen, die von den ersten 200 Familien entliehen werden
\(n = 200\) (Länge der Bernoulli-Kette)
\(p = 0{,}15\) (Trefferwahrscheinlichkeit für das Ereignis „Familie entleiht einen Bollerwagen.")
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(200;0{,}15)\) binomialverteilt (vgl. Angabe).
Die Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}15}^{200}(X \geq 25)\) dafür, dass mindestens 25 Bollerwagen entliehen werden, lässt sich durch die Betrachtung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses „Höchstens 24 Bollerwagen werden entliehen" auf die kumulative Verteilungsfunktion zurückführen, welche im Stochastischen Tafelwerk (ST) in der rechten Spalte tabellarisiert ist.
Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)
\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.
Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\).
Mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)
Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (ST) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses ermöglicht das Verwenden des Stochastischen Tafelwerks:
\[P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)\]
Die Kumulative Verteilungsfunktion \(F_{p}^{n}(k) = P^n_p(X \leq k) = \sum \limits_{i\;=\;0}^{k} B(n;p;i)\) ist für bestimmte Werte der Parameter \(p\) und \(n\) in der rechten Spalte des Stochastischen Tafelwerks mit Abiturzulassung tabellarisiert.
\[\begin{align*}P_{0{,}15}^{200}(X \geq 25) &= 1 - \textcolor{#0087c1}{P_{0{,}15}^{200}(X \leq 24)} \\[0.8em] &= 1 - \textcolor{#0087c1}{\sum \limits_{I\,=\,0}^{24}B(200;0{,}15;i)} \\[0.8em] &\overset{\textcolor{#0087c1}{\text{ST}}}{=} 1 - \textcolor{#0087c1}{0{,}13682} \\[0.8em] &= 0{,}86318 \approx 86{,}3\,\% \end{align*}\]
