Die Punkte \(A(1|1|1)\), \(B(0|2|2)\) und \(C(-1|2|0)\) liegen in der Ebene \(E\).
Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\) der linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform (Abbildung schematisch). Als Aufpunkt wählt man einen der gegebenen Punkte \(A\), \(B\) oder \(C\). Damit lässt sich einen Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform angeben.
Der Ansatz kann mit Hilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen.
Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)
Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:
Normalenform in Vektordarstellung
\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]
Normalenform in Koordinatendarstellung
\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]
mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)
\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)
Linear unabhängige Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) berechnen:
Lineare (Un-)Abhängigkeit von zwei Vektoren
Zwei Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) sind
linear abhängig, wenn
\(\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}\quad\) bzw. \(\quad\overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b}\,; \enspace k \in \mathbb R \quad\) gilt.
linear unabhängig, wenn
\(\overrightarrow{a} \nparallel \overrightarrow{b}\quad\) bzw. \(\quad\overrightarrow{a} \neq k \cdot \overrightarrow{b}\,; \enspace k \in \mathbb R \quad\) gilt.
Lineare (Un-)Abhängigkeit von drei Vektoren
Drei Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind
linear abhängig, wenn
sie in einer Ebene liegen bzw. wenn
die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) eine eindeutige Lösung hat.
linear unabhängig, wenn
sie den Raum \(\mathbb R^{3}\) aufspannen bzw. wenn
die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) keine Lösung hat.
Bei der Untersuchung der linearen (Un)Abhängigkeit dreier Vektoren spielt es keine Rolle, welche der drei Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) oder \(\overrightarrow{c}\) man als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darzustellen versucht.
\(A(1|1|1)\), \(B(0|2|2)\), \(C(-1|2|0)\)
\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}\]
\[\begin{align*} \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align*}\]
Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(E\) ermitteln:
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) erzeugt einen neuen Vektor \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) mit den Eigenschaften:
\(\overrightarrow{c}\) ist sowohl zu \(\overrightarrow{a}\) als auch zu \(\overrightarrow{b}\) senkrecht.
\[\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a}, \enspace \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{b}\]
Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Rechtehandregel: Weist \(\overrightarrow{a}\) in Richtung des Daumens und \(\overrightarrow{b}\) in Richtung des Zeigefingers, dann weist \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) in Richtung des Mittelfingers.
Berechnung eines Vektorprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end {pmatrix}\]
\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 1 & \cdot & (-1) & - & 1 & \cdot & 1 \\ 1 & \cdot & (-2) & - & (-1) & \cdot & (-1) \\ (-1) & \cdot & 1 & - & 1 & \cdot & (-2) \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = (-1) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\end{align*}\]
Der Vektor \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) ist also ein Normalenvektor der Ebene \(E\).
Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform beschreiben:
Der Punkt \(A(1|1|1)\) dient beispielsweise als Aufpunkt.
1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung
Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)
Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:
Normalenform in Vektordarstellung
\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]
Normalenform in Koordinatendarstellung
\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]
mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)
\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)
\[\begin{align*}E \colon &\overrightarrow{n} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \\[0.8em] E \colon &\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right] = 0 \\[0.8em] &\textcolor{#0087c1}{2 \cdot (x_{1} - 1) + 3 \cdot (x_{2} - 1) - 1 \cdot (x_{3} - 1) = 0} \\[0.8em] &\textcolor{#0087c1}{2x_{1} - 2 + 3x_{1} - 3 - x_{3} + 1 = 0} \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{E \colon \,} &\textcolor{#0087c1}{2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} - 4 = 0}\end{align*}\]
Anmerkung:
Da die Aufgabe keine bestimmte Darstellung der Normalenform verlangt, ist das Ausmultiplizieren des Skalarprodukts, d.h. die Umwandlung in die Koordinatendarstellung, nicht unbedingt notwendig.
2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung
Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)
Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:
Normalenform in Vektordarstellung
\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]
Normalenform in Koordinatendarstellung
\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]
mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)
\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)
\(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(A(1|1|1)\)
\[\begin{align*}&E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0 \\[0.8em] &E \colon 2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} + n_{0} = 0 \end{align*}\]
\[\begin{align*} A \in E \colon 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 4 + n_{0} &= 0 &&| - 4 \\[0.8em] n_{0} &= -4 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad E \colon 2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} - 4 = 0\]
