Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass der zugehörige Wendepunkt \(W_{k}\) auf der \(y\)-Achse liegt. Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Punkt \(W_{k}\) im Koordinatenursprung liegt und die Wendetangente, d. h. die Tangente an \(G_{k}\) im Punkt \(W_{k}\), die Steigung \(9\) hat.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3c
\[g_{k}(x) = kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x; \; k \in \mathbb R \backslash \{0\}\]
\(x\)-Koordinate von \(W_{k}\): \(x = -\dfrac{1}{k} - 1\) (vgl. Teilaufgabe 3b)
Wert von \(k\) sodass der zugehörige Wendepunkt \(W_{k}\) auf der \(y\)-Achse liegt
Wenn der Wendepunkt \(W_{k}\) auf der \(y\)-Achse liegt, gilt für dessen \(x\)-Koordinate: \(x_{W_{k}} = 0\).
\[\begin{align*} 0 &= -\frac{1}{k} - 1 &&| +1 \\[0.8em] 1 &= -\frac{1}{k} &&| \cdot k \\[0.8em] k &= -1 \end{align*}\]
Nachweis, dass \(W_{k}\) für \(k = -1\) im Koordinatenursprung liegt
\[k = -1\]
\[\begin{align*}g_{-1}(x) &= (-1) \cdot x^{3} + 3 \cdot (-1 + 1) + 9x \\[0.8em] &= -x^{3} + 9x \end{align*}\]
Mit \(x_{W_{-1}} = 0\) folgt:
\[g_{-1}(0) = -0^{3} + 9 \cdot 0 = 0\]
Somit liegt der Wendepunkt \(W_{k}\) für \(k = -1\) im Koordinatenursprung \((W_{-1}(0|0))\).
Nachweis, dass die Wendetangente für \(k= -1\) die Steigung \(9\) hat
Mit \(x_{W_{-1}} = 0\) gilt für die Steigung \(m_{W_{-1}}\) der Wendetangente:
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[m_{W_{-1}} = g'_{-1}(0)\]
Erste Ableitungsfunktion \(g'_{-1}(x)\) für \(k = -1\) bestimmen:
\(g'_{k}(x) = 3kx^{2} + 6 \cdot (k + 1)x + 9\) (vgl. Teilaufgabe 3b)
\[\begin{align*}g'_{-1}(x) &= 3 \cdot (-1) \cdot x^{2} + 6 \cdot (-1 + 1)x + 9 \\[0.8em] &= -3x^{2} + 9 \end{align*}\]
Somit ergibt sich:
\[m_{W_{-1}} = g'_{-1}(0) = (-3) \cdot 0^{2} + 9 = 9\]
Also hat die Wendetangente des Wendepunkts \(W_{-1}(0|0)\) die Steigung \(9\).
