Entscheiden Sie anhand geeigneter Terme und auf der Grundlage der vorliegenden Daten, welche der beiden folgenden Wahrscheinlichkeiten größer ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

\(p_{1}\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie 65 Jahre oder älter ist.

\(p_{2}\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist, wenn bekannt ist, dass sie ein Mobiltelefon besitzt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Bedingte Wahrscheinlichkeit

 

\(M\): „Die Person besitzt ein Mobiltelefon."

\(S\): „Die Person ist 65 Jahre oder älter."

 

\(p_{1}\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie 65 Jahre oder älter ist.

\(p_{2}\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist, wenn bekannt ist, dass sie ein Mobiltelefon besitzt.

 

Beide Wahrscheinlichkeiten \(p_{1}\) und \(p_{2}\) formulieren eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.

Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[p_{1} = P_{S}(M) = \frac{P(M \cap S)}{P(S)}\]

\[p_{2} = P_{M}(S) = \frac{P(M \cap S)}{P(M)}\]

 

Die Terme der Wahrscheinlichkeiten \(p_{1}\) und \(p_{2}\) unterscheiden sich nur im Nenner. Aus den beiden Diagrammen (siehe Angabe Aufgabe 1) entnimmt man die Werte der Wahrscheinlichkeiten \(P(M)\) und \(P(S)\) und beurteilt damit, welche der Wahrscheinlichkeiten \(p_{1}\) und \(p_{2}\) größer ist.

 

\[P(M) = 0{,}9\,; \enspace P(S) = 0{,}24\]

 

\[p_{1} = \frac{P(M \cap S)}{0{,}24}\,; \enspace p_{2} = \frac{P(M \cap S)}{0{,}9}\]

 

\[\begin{align*} \frac{P(M \cap S)}{0{,}24} &>\frac{P(M \cap S)}{0{,}9} \\[0.8em] p_{1} &> p_{2} \end{align*}\]