In einer Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln. Aus dieser wird achtmal eine Kugel zufällig gezogen, die Farbe notiert und die Kugel anschließend wieder zurückgelegt.

Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen." berechnet werden kann. 

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, Binomialverteilung

 

In der Urne befinden sich insgesamt zehn Kugeln (vier rote und sechs blaue Kugeln).

Da eine gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird, ist die Wahrscheinlichkeit eine rote oder eine blaue Kugel zu ziehen jeweils konstant.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine rote Kugel gezogen wird beträgt:

\(\displaystyle P(\text{„rote Kugel"}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0{,}4\).

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine blaue Kugel gezogen wird beträgt:

\(\displaystyle P(\text{„blaue Kugel"}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0{,}6\).

Das Ereignis „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen" bedeutet bei achtmaligem Ziehen, dass viermal eine rote und viermal eine blaue Kugel gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass viermal eine rote Kugel gezogen wird beträgt:

\(\displaystyle P(\text{„viermal rote Kugel"}) = 0{,}4^{4}\).

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass viermal eine blaue Kugel gezogen wird beträgt:

\(\displaystyle P(\text{„viermal blaue Kugel"}) = 0{,}6^{4}\).

Das Ereignis „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen" legt keine Reihenfolge für die Ziehungen fest. Es müssen alle Möglichkeiten dafür berücksichtigt werden, in welcher Abfolge vier gezogene rote bzw. vier gezogene blaue Kugel auf acht Ziehungen verteilt sein können. Die Anzahl dieser Möglichkeiten beschreibt der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{8}{4}\).

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[P(\text{„gleich viele rote und blaue Kugeln"}) = \binom{8}{4} \cdot 0{,}4^{4} \cdot 0{,}6^{4}\]

 

Als Alternative kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße \(X\), welche die Anzahl der gezogenen roten Kugeln beschreibt, oder einer Zufallsgröße \(Y\), welche die Anzahl der gezogenen blauen Kugeln beschreibt, betrachtet werden. Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(8;0{,}4)\) und die Zufallsgröße \(Y\) ist nach \(B(8;0{,}6)\) binomialverteilt.

Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße

Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:

Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)

\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]

Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).

Voraussetzung für eine Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße \(X\) bzw. die Zufallsgröße \(Y\) einen bestimmten Wert annimmt, lässt sich mit Hilfe der Formel von Bernoulli beschreiben.

Formel von Bernoulli

Formel von Bernoulli

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:

\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]

\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]

\[\begin{align*}P(\text{„gleich viele rote und blaue Kugeln"}) &= P^{8}_{0{,}4}(X = 4) \\[0.8em] &= B(8;0{,}4;4) \\[0.8em] &= \binom{8}{4} \cdot 0{,}4^{4} \cdot (1 - 0{,}4)^{8 - 4} \\[0.8em] &= \binom{8}{4} \cdot 0{,}4^{4} \cdot 0{,}6^{4} \end{align*}\]

 

bzw.

 

\[\begin{align*}P(\text{„gleich viele rote und blaue Kugeln"}) &= P^{8}_{0{,}6}(Y = 4) \\[0.8em] &= B(8;0{,}6;4) \\[0.8em] &= \binom{8}{4} \cdot 0{,}6^{4} \cdot (1 - 0{,}6)^{8 - 4} \\[0.8em] &= \binom{8}{4} \cdot 0{,}6^{4} \cdot 0{,}4^{4} \end{align*}\]