Der Anbaubetrieb sät 200 Samenkörner der Qualität B. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

\(E\): „Von den gesäten Samenkörnern keimen genau 140."

\(F\): „Von den gesäten Samenkörnern keimen mehr als 130 und weniger als 150."

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Binomialverteilung, binomialverteilte Zufallsgröße

 

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Samenkorn der Qualität B keimt ist mit \(p = 0{,}7\) konstant (vgl. Angabe). Da nur zwischen den beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen „Samenkorn der Qualität B keimt" und „Samenkorn der Qualität B keimt nicht" unterschieden wird, liegt ein Bernoulli-Experiment vor.

Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette

Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei verschiedene sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment.

Das Eintreten des Ereignisses \(A\) wird als Treffer und das Eintreten des Gegeneignisses \(\overline{A}\) wird als Niete bezeichnet. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(P(A)\) bezeichnet man mit \(\boldsymbol{p}\) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit \(q = 1- p\). Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(\boldsymbol{n}\). Dabei müssen die einzelnen Wiederholungen unabhängig voneinander erfolgen. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt konstant.

Das Aussäen von 200 Samenkörnern der Qualität B entspricht der Länge der Bernoulli-Kette \(n = 200\).

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der keimenden Samenkörner unter den gesäten Samenkörnern der Qualität B beschreibt.

Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße

Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:

Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)

\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]

Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).

Voraussetzung für eine Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(200;0{,}7)\) binomialverteilt.

 

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E\)

 

\(E\): „Von den gesäten Samenkörnern keimen genau 140."

 

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}7}^{200}(X = 140)\). Die Wahrscheinlichkeit lässt sich mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ermitteln.

 

\(p = 0{,}7\), \(n = 200\), \(k = 140\)

 

\[\begin{align*}P(E) &= P_{0{,}7}^{200}(X = 140) \\[0.8em] &= B(200;0{,}7;140) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}06146 \\[0.8em] &\approx 6{,}15\,\% \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach B(200;0,7) binomialverteilten Zufallsgröße X, Wahrscheinlichkeit B(200;0,7;140)

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(200;0{,}7)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}7}^{200}(X = 140)\)

 

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(F\)

 

\(F\): „Von den gesäten Samenkörnern keimen mehr als 130 und weniger als 150."

 

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}7}^{200}(130 < X < 150)\). Die Wahrscheinlichkeit lässt sich auf die kumulative Verteilungsfunktion zurückführen, sodass das Stochastische Tafelwerk (ST) verwendet werden kann.

Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)

\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.

Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\). 

\(p = 0{,}7\), \(n = 200\)

 

\[\begin{align*} P(F) &= P_{0{,}7}^{200}(130 < X < 150) \\[0.8em] &= P_{0{,}7}^{200}(131 \leq X \leq 149) \\[0.8em] &= P_{0{,}7}^{200}(X \leq 149) - P_{0{,}7}^{200}(X \leq 130) \\[0.8em]&= \sum \limits_{i\,=\,0}^{149}B(200;0{,}7;i) - \sum \limits_{i\,=\,0}^{130}B(200;0{,}7;i) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}93045 - 0{,}07279 \\[0.8em] &= 0{,}85766 \\[0.8em] &\approx 85{,}77\,\% \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach B(200;0,7) binomialverteilten Zufallsgröße X, Wahrscheinlichkeit P(130 < X < 150)

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(200;0{,}7)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}7}^{200}(130 < X < 150)\)