Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_f\) im Punkt \((0|6)\). Skizzieren Sie \(G_f\) unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignet anzulegendes Koordinatensystem.
(6 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1c
\[f(x) = 6 \cdot e^{-0{,}5x} + x\,; \quad D_{f} = \mathbb R\]
1. Lösungsansatz: Tangentengleichung
Gleichung einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\;(x_0|f(x_0)) \):
\[y = f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0})\]
\[T\,\colon\, y = f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0})\]
\[x_0 = 0\]
\(f'(x) = -3 \cdot e^{-0{,}5x} + 1\) (siehe Teilaufgabe 1a)
\[f'(x_0) = f'(0) = -3 \cdot \underbrace{e^{-0{,}5 \cdot 0}}_{1} + 1 = -2\]
\[f(x_0) = f(0) = 6 \cdot \underbrace{e^{-0{,}5 \cdot 0}}_{1} + 0 = 6\]
\[\begin{align*} y &= f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0}) \\[0.8em] &= (-2) \cdot (x - 0) + 6 \\[0.8em] &= -2x + 6 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\,y = -2x + 6\]
2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[T\,\colon\,y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad P\,(0|6)\]
Tangentensteigung bestimmen:
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[m_{T} = f'(0) = -3 \cdot \underbrace{e^{-0{,}5 \cdot 0}}_{1} + 1 = -2\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:
\[\begin{align*} P \in T\,\colon & & 6 &= (-2) \cdot 0 + t \\[0.8em] && 6 &= t \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -2x + 6\]
Verlauf von \(G_f\), Tangente \(T\) an \(G_{f}\) im Punkt \((0|6)\)
