Abiturlösungen Mathematik Bayern 2020

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f \colon x \mapsto x^{2} + 4\) und \(g_{m} \colon x \mapsto m \cdot x\) mit \(m \in \mathbb R\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) und der Graph von \(g_{m}\) mit \(G_{m}\) bezeichnet.

Skizzieren Sie \(G_{f}\) in einem Koordinatensystem. Berechnen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punkts der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{4}\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

 

\[f(x) = x^{2} + 4; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[g_{m}(x) = m \cdot x; \; D_{g_{m}} = \mathbb R; \; m \in \mathbb R\]

 

Skizze von \(G_{f}\)

\(G_{f}\) ist eine um 4 Einheiten in positive \(y\)-Richtung verschobene Normalparabel.

Verschieben von Funktionsgraphen

Verschieben von Funktionsgraphen

\[g(x) = f(x +a) + b\]

Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(-a\), Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(b\)

Graph der Funktion f:x ↦ x² + 4

Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto x^{2} + 4\)

 

Berechnung der Koordinaten des gemeinsamen Punkts der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{4}\)

In der Aufgabenstellung heißt es: „... Koordinaten des gemeinsamen Punkts ...", was auf einen Berührpunkt hinweist.

 

\[f(x) = x^{2} + 4; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[g_{4}(x) = 4 \cdot x; \; D_{g_{4}} = \mathbb R\]

 

1. Möglichkeit: Funktionsterme gleichsetzen 

Für die Berechnung der \(x\)-Koordinate des gemeinsamen Punkts von \(G_{f}\) und \(G_{4}\) werden die Funktionsterme gleichgesetzt und die Gleichung nach \(x\) aufgelöst.

 

\[\begin{align*} f(x) &= g_{4}(x) \\[0.8em] x^{2} + 4 &= 4x &&| -4x \; \text{(quadratische Gleichung formulieren)} \\[0.8em] \underbrace{x^{2} - 4x + 4}_{a^{2}\,-\,2ab\,+\,b^{2}} &= 0 &&| \; \text{2. Binom. Formel anwenden} \\[0.8em] \underbrace{(x - 2)^{2}}_{(a\,-\,b)^{2}} &= 0 \\[0.8em] x_{1,2} &= 2 \end{align*}\]

 

Oder mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel):

 

\[x^{2} - 4x + 4 = 0\]

Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)

\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]

Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):

\(D < 0\,\): keine Lösung

\(D = 0\,\): genau eine Lösung

\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen

\[x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{2} = 2\]

 

\(y\)-Koordinate des gemeinsamen Punkts berechnen:

Hierfür wird \(x = 2\) in einen der beiden Funktionsterme \(f(x)\) oder \(g_{4}(x)\) eingesetzt.

 

\[g_{4}(2) = 4 \cdot 2 = 8\]

oder

\[f(2) = 2^{2} + 4 = 4 + 4 = 8\]

 

Somit berühren sich \(G_{f}\) und \(G_{4}\) im Punkt \((2|8)\).

 

2. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden

Da die Aufgabenstellung auf einen Berührpunkt hinweist, lässt sich dessen \(x\)-Koordinate auch mithilfe der ersten Ableitungen von \(f\) und \(g_{4}\) berechnen.

In einen Berührpunkt haben die beiden sich berührenden Graphen dieselbe Steigung (Steigung der Tangente).

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

Die erste Ableitung \(f'\) bzw. \(g_{4}'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an \(G_{f}\) bzw. \(G_{4}\). Somit gilt im Berührpunkt: \(f'(x) = g_{4}'(x)\).

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

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Ableitungen
Ableitungsregeln

Ableitungen der Grundfunktionen

\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]

\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]

\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]

\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]

 

\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]

\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]

\[\left( e^x \right)' = e^x\]

\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]

vgl. Merkhilfe

Faktorregel

\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]

Summenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

Produktregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

 

Quotientenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]

Kettenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

vgl. Merkhilfe

\[f(x) = x^{2} + 4 \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = 2x\]

\[g_{4}(x) = 4x \quad \Longrightarrow \quad g_{4}'(x) = 4\]

 

\[f'(x) = g_{4}'(x) \quad \Longleftrightarrow \quad 2x = 4 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 2\]

 

Die Berechnung der \(y\)-Koordinate erfolgt wie unter 1. Möglichkeit beschrieben.