Abiturlösungen Mathematik Bayern 2022

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Gerade. Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung \(y = x\) handelt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2f

 

1. Möglichkeit: Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 berücksichtigen

Graph der Funktion f aus Aufgabe 1, Extrempunkte, Gerade mit der Gleichung y = x

Graph der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1, Trägergerade der Extrempunkte mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{y = x}\) 

 

\[f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R\]

\[f(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}} = f_1(x); \; D_f = \mathbb R\]

 

Die Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 entspricht der Scharfunktion \(f_1\) der Funktionenschar \(f_a\). Aus Teilaufgabe 1c ist bekannt, dass der Graph von \(f\) den Hochpunkt \((1|1)\) bzw. den Tiefpunkt \((-1|-1)\) besitzt. Die Koordinaten der Extrempunkte bestätigen, dass alle Extrempunkte der Funktionenschar \(f_a\) auf der Gerade mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{y = x}\) liegen.

 

Anmerkung:

Wegen der Symmetrie von \(G_f\) bezüglich des Koordinatenursprungs (vgl. Teilaufgabe 1a) genügt es, die Koordinaten des Hoch- oder Tiefpunkts zu betrachten.

 

2. Möglichkeit: Koordinaten der Extrempunkte von \(f_a\) bestimmen

„Die Extremstellen von \(f_a\) stimmen mit den Lösungen der Gleichung \(a \cdot x^2 = 1\) überein." (vgl. Teilaufgbabe 2e)

Mithilfe dieser Gleichung lassen sich die Koordinaten der Extrempunkte von \(f_a\) in Abhängigkeit des Parameters \(a\) mit \(a > 0\) bestimmen.

 

\[a \cdot x^2 = 1 \enspace \Leftrightarrow \enspace x^2 = \frac{1}{a} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#cc071e}{x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{1}{a}}}\enspace (a > 0)\]

 

\(y\)-Koordinate eines Extrempunkts berechnen:

 

\[\begin{align*}f_a\left(\textcolor{#cc071e}{\sqrt{\frac{1}{a}}}\right) &= \textcolor{#cc071e}{\sqrt{\frac{1}{a}}} \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot \left( \textcolor{#cc071e}{\sqrt{\frac{1}{a}}}\right)^2 + \frac{1}{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{a}} + \frac{1}{2} \\[0.8em] &= \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^0 \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{\sqrt{\frac{1}{a}}}\end{align*}\]

\[\Rightarrow \enspace HoP\left( \textcolor{#cc071e}{\sqrt{\frac{1}{a}}} \Bigg| \textcolor{#cc071e}{\sqrt{\frac{1}{a}}} \right)\]

\[\begin{align*}f_a\left(\textcolor{#cc071e}{-\sqrt{\frac{1}{a}}}\right) &= \textcolor{#cc071e}{-\sqrt{\frac{1}{a}}} \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot \left( \textcolor{#cc071e}{-\sqrt{\frac{1}{a}}}\right)^2 + \frac{1}{2}} \\[0.8em] &= -\sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{a}} + \frac{1}{2} \\[0.8em] &= -\sqrt{\frac{1}{a}} \cdot e^0 \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{-\sqrt{\frac{1}{a}}}\end{align*}\]

\[\Rightarrow \enspace TiP\left( \textcolor{#cc071e}{-\sqrt{\frac{1}{a}}} \Bigg| \textcolor{#cc071e}{-\sqrt{\frac{1}{a}}} \right)\]

 

Wie die Koordinaten der Extrempunkte der Graphen von \(f_a\) zeigen, liegen die Extrempunkte auf der Gerade mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{y = x}\).

 

3. Möglichkeit: Gleichung der Ortskurve (Trägergraph) der Extrempunkte bestimmen

Prinzip: Sind \((x(a)|y(a))\) die Koordinaten der Extrempunkte in Abhängigkeit des Parameters \(a\), so wird zunächst die \(x\)-Koordinate nach dem Parameter \(a\) aufgelöst. Eingesetzt in die \(y\)-Koordinate, ergibt sich die Funktionsgleichung des Trägergraphen der Extrempunkte (vgl. Abiturskript - 1.7.6 Ortslinie / Trägergraph einer Kurvenschar).

Den Zusammenhang zwischen der \(x\)-Koordinate der Extrempunkte der Graphen von \(f_a\) und dem Parameter \(a\) liefert die Gleichung aus Teilaufgabe 2e. Die \(y\)-Koordinate der Extrempunkte lässt sich allgemein mit \(y = f_a(x)\) angeben.

 

\(a \cdot x^2 = 1 \enspace \Leftrightarrow \enspace a = \textcolor{#e9b509}{\dfrac{1}{x^2}}\) (vgl. Teilaufgabe 2e)

 

Eingesetzt in \(y = f_\textcolor{#e9b509}{a}(x)\) folgt:

 

\[f_\textcolor{#e9b509}{a}(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}\textcolor{#e9b509}{a} \cdot x^2 + \frac{1}{2}}\]

 

\[\textcolor{#cc071e}{y} = f_{\textcolor{#e9b509}{\frac{1}{x^2}}}(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{1}{x^2}} \cdot x^2 + \frac{1}{2}} = x \cdot e^0 \textcolor{#cc071e}{= x}\]

 

Somit liegen alle Extrempunkte der Graphen der Funktionenschar \(f_a\) auf der Gerade mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{y = x}\).