Ein Jahr später möchte die Tageszeitung ermitteln, ob sich durch die Verfilmung der Anteil \(p\) der Jugendlichen, die den Roman gelesen haben, wesentlich erhöht hat. Die Nullhypothese \(H_0 \colon p \leq 0{,}15\) soll mithilfe einer Stichprobe von 100 Jugendlichen auf einem Signifikanzniveau von 10 % getestet werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

Signifikanztest

 

Zufallsgröße \(R \colon \enspace\) "Anzahl der Jugendlichen, die angeben, den Roman gelesen zu haben."

 

Analyse der Angabe:

 

"Die Nullhypothese \(H_0 \colon \enspace p \leq 0{,}15\) ... soll getestet werden."

\(\Longrightarrow \quad p_0 = 0{,}15\)

 

"... mithilfe einer Stichprobe von 100 Jugendlichen ..."

\(\Longrightarrow \quad\) Stichprobenumfang \(\,n = 100\)

 

"... auf einem Signifikanzniveau von 10 % ..."

\(\Longrightarrow \quad\) Signifikanzniveau \(\,\alpha = 0{,}1\)

 

Die Irrtumswahrscheinlichkeit dafür, dass das Stichprobenergebnis zufällig ein gesteigertes Interesse der Jugendlichen am Roman aussagt, obwohl tatsächlich höchstens 15 % der Jugendlichen den Roman gelesen haben, soll höchstens 10 % betragen.

\(\Longrightarrow \quad P(\text{„Fehler 1. Art"}) \leq 0{,}1\)

 

Rechtsseitiger Signifikanztest

Einseitiger Signifikanztest

Einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\boldsymbol{\alpha}\)

Ein einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\alpha\) überprüft eine Vermutung, dass eine Wahrscheinlichkeit \(p\) größer bzw. kleiner als eine bestimmte Wahrscheinlichkeit \(p_{0}\) ist. Dabei darf die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens den Wert des Signifikanzniveaus \(\alpha\) erreichen.

Linksseitiger Signifikanztest

\[H_0 \colon p_0 \geq p \quad H_1 \colon p_1 < p\]

Ablehnungsbereich von \(H_0\):

\[\overline{A} = \{0; 1; ...; k\}\]

Bedingung für den Fehler 1. Art:

\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]

Rechtsseitiger Signifikanztest

\[H_0 \colon p_0 \leq p \quad H_1 \colon p_1 > p\]

Ablehnungsbereich von \(H_0\):

\[\overline{A} = \{k + 1; ...; n\}\]

Bedingung für den Fehler 1. Art:

\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \geq k +1) &\leq \alpha \\[0.8em] 1 - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha & &| - 1 \\[0.8em] - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha - 1 &&| \textcolor{red}{\cdot (-1)} \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\textcolor{red}{\geq} 1 - \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]

ST: Stochastisches Tafelwerk

Nullhypothese \(H_0 \colon \enspace p \leq 0{,}15\)

Gegenhypothese \(H_1 \colon \enspace p > 0{,}15\)

 

Annahmebereich von \(H_0\,\): \(A = \{0; 1; \dots; k\}\)

Ablehnungsbereich von \(H_0\,\): \(\overline{A} = \{k + 1; \dots; 100\}\)

 

Bedingung für den Fehler 1. Art formulieren:

 

\[P^{100}_{0{,}15}(R \geq k + 1) \enspace \overset{!}{\leq} \enspace 0{,}1\]

 

Betrachten des Gegenereignisses:

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)

Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (ST) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses ermöglicht das Verwenden des Stochastischen Tafelwerks:

\[P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)\]

Die Kumulative Verteilungsfunktion \(F_{p}^{n}(k) = P^n_p(X \leq k) = \sum \limits_{i\;=\;0}^{k} B(n;p;i)\) ist für bestimmte Werte der Parameter \(p\) und \(n\) in der rechten Spalte des Stochastischen Tafelwerks mit Abiturzulassung tabellarisiert.

\[\begin{align*}P^{100}_{0{,}15}(R \geq k + 1) &\leq 0{,}1 \\[0.8em] 1 - P^{100}_{0{,}15}(R \leq k) &\leq 0{,}1 & &| -1 \\[0.8em] -P^{100}_{0{,}15}(R \leq k) &\leq -0{,}9 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P^{100}_{0{,}15}(R \leq k) &\geq 0{,}9 \end{align*}\]

Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)

\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.

Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\). 

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

 

\[P^{100}_{0{,}15} (R \leq k) = F^{100}_{0{,}15} (k) = \sum \limits_{i \; = \; 0}^{k} B(100; 0{,}15; i) \enspace \overset{!}{\geq} \enspace 0{,}9\]

 

\[\overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad k = 20 \quad \left( F^{100}_{0{,}15} (20) \quad \overset{\text{ST}}{=} \quad 0{,}93368 \right)\]

 

Entscheidungsregel formulieren:

 

Annahmebereich von \(H_0\,\): \(A = \{0; 1; \dots; 20\}\)

Ablehnungsbereich von \(H_0\,\): \(\overline{A} = \{21; \dots; 100\}\)

 

Wenn mindestens 21 Jugendliche angeben, den Roman gelesen zu haben, wird die Nullhypothese \(H_0 \colon \enspace p \leq 0{,}15\) abgelehnt.

 

Rechtsseitiger Signifikanztest: Fehler 1. Art, Annahmebereich, Ablehnungsbereich