Abiturlösungen Mathematik Bayern 2021

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Bei einer Werbeaktion werden den Fruchtgummitüten Rubbellose beigelegt. Beim Freirubbeln werden auf dem Los bis zu drei Goldäpfel sichtbar. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln sichtbar werden. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\).

Tabelle Aufgabe 4 Stochastik 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2021

Die Zufallsgröße \(X\) hat den Erwartungswert 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(p_{0}\) und \(p_{1}\) und berechnen Sie die Varianz von \(X\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4a

 

Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten \(p_{0}\) und \(p_{1}\)

Tabelle Aufgabe 4 Stochastik 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2021

 

Da die Zufallsgröße \(X\) den Erwartungswert 1 hat (vgl. Angabe), folgt:

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:

Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} \\[0.8em] &= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} \,+\, ... \,+\, x_{n} \cdot p_{n} \end{align*}\]

Der Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(X\) gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.

\[\begin{align*}E(X) &= 1\\[0.8em] 0 \cdot p_{0} + 1 \cdot p_{1} + 2 \cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0{,}1 &= 1 \\[0.8em] p_{1} + 0{,}7 &= 1&&|-0{,}7\\[0.8em]\textcolor{#e9b509}{p_{1}}&= \textcolor{#e9b509}{0{,}3}\end{align*}\]

 

Außerdem ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten \(P(X = k)\) gleich 1.

 

\[\begin{align*}\sum P(X = k) &= 1\\[0.8em]p_{0} + \textcolor{#e9b509}{p_{1}} + 0{,}2 + 0{,}1 &= 1 \\[0.8em] p_{0} + \textcolor{#e9b509}{0{,}3} + 0{,}2 + 0{,}1&= 1 \\[0.8em] p_{0} + 0{,}6 &= 1&&| -0{,}6\\[0.8em] p_{0} &= 0{,}4\end{align*}\]

 

Berechnung der Varianz von \(X\)

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):

 

\(k\) \(\textcolor{#0087c1}{0}\) \(\textcolor{#0087c1}{1}\) \(\textcolor{#0087c1}{2}\) \(\textcolor{#0087c1}{3}\)
\(P(X = k)\) \(\textcolor{#e9b509}{0{,}4}\) \(\textcolor{#e9b509}{0{,}3}\) \(\textcolor{#e9b509}{0{,}2}\) \(\textcolor{#e9b509}{0{,}1}\)

 

\[\textcolor{#cc071e}{E(X)} = \textcolor{#cc071e}{1}\]

Varianz einer Zufallsgröße

Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:

Varianz \(\boldsymbol{Var(X)}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)

\[\begin{align*}Var(X) \enspace = \quad &\sum \limits_{i\;=\;1}^{n} (x_{i} - \mu)^{2} \cdot P(X = x_{i}) \\[0.8em] \enspace = \quad &(x_{1} - \mu)^{2} \cdot P(X = x_{1}) + (x_{2} - \mu)^{2} \cdot P(X = x_{2}) + \dots \\[0.8em] + \; &(x_n - \mu)^2 \cdot P(X = x_n)\end{align*}\]

Die Varianz \(\boldsymbol{Var(X)}\) einer Zufallsgröße \(X\) ist eine Maßzahl für die Streuung der Werte \(x_{i}\) der Zufallsgröße um den Erwartungswert \(\mu\).

\[\begin{align*}Var(X) &= (\textcolor{#0087c1}{0} - \textcolor{#cc071e}{1})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{0{,}4}+(\textcolor{#0087c1}{1} - \textcolor{#cc071e}{1})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{0{,}3}+(\textcolor{#0087c1}{2} - \textcolor{#cc071e}{1})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{0{,}2}+(\textcolor{#0087c1}{3} - \textcolor{#cc071e}{1})^{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{0{,}1} \\[0.8em] &= 0{,}4 + 0 + 0{,}2 + 0{,}4 \\[0.8em] &= 1 \end{align*}\]