Geben Sie alle Werte \(a \in \mathbb R\) an, für die die Gleichung \(3x \cdot e^{-0{,}25x} = a\) genau eine Lösung besitzt.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2c
\(a = \dfrac{12}{e}\) oder \(a \in \; ]-\infty;0]\)
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
Die Gleichung formuliert den Ansatz für die Betstimmung der gemeinsamen Punkte des Graphen der Funktion \(g_{-0{,}25}\) mit dem Hochpunkt \(H\bigg(4\bigg| \dfrac{12}{e} \bigg)\) (vgl. Teilaufgabe b) und einer Parallelenschar mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{y = a}\) mit \(a \in \mathbb R\).
\[\underbrace{3x \cdot e^{-0{,}25x}}_{\large{g_{-0{,}25}(x)}} = \textcolor{#cc071e}{a}\]
Für \(\textcolor{#cc071e}{a = \dfrac{12}{e}}\) berührt die Gerade mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{y = \dfrac{12}{e}}\) den Graphen der Funktion \(g_{-0{,}25}\) im Hochpunkt \(H\bigg(4\bigg| \dfrac{12}{e} \bigg)\).
Verhalten von \(g_{-0{,}25}\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\):
Wichtige Grenzwerte (jeweils \(r > 0\))
\(\lim \limits_{x \,\to\,+\infty} \dfrac{x^r}{e^x} = 0\)
Für \(x \to +\infty\) wächst \(e^x\) schneller als \(x^r\).
\(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \dfrac{\ln{x}}{x^r} = 0\)
Für \(x \to +\infty\) wächst \(x^r\) schneller als \(\ln{x}\).
\[\lim \limits_{x\,\to\,0} \left(x^r \cdot \ln{x}\right) = 0\]
\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} g_{-0{,}25}(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \underbrace{3x}_{\to\,-\infty} \cdot \underbrace{e^{-0{,}25x}}_{\to\,+\infty} = -\infty\]
\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} g_{-0{,}25}(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} 3x \cdot e^{-0{,}25x} = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{3x}{e^{0{,}25x}} = 0\]
Somit ist für \(x \to +\infty\) die \(x\)-Achse waagrechte Asymptote des Graphen der Funktion \(g_{-0{,}25}\) und für \(x \to -\infty\) verläuft der Graph von \(g_{-0{,}25}\) nach \(-\infty\).
Alle Geraden der Parallelenschar mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{y = a}\) haben für \(\textcolor{#cc071e}{a \leq 0}\) mit dem Graphen der Funktion \(g_{-0{,}25}\) genau einen gemeinsamen Punkt.
