Für jeden Wert \(s > 0\) legen die Punkte \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(R(s)\) fest.
Zeichnen Sie dieses Rechteck für \(s = 5\) in die Abbildung 1 ein.
Zeigen Sie, dass \(R(s)\) für einen bestimmten Wert von \(s\) maximal ist, und geben Sie diesen Wert von \(s\) an.
(zur Kontrolle: \(R(s) = 7s \cdot e^{-0{,}2s}\))
(7 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
\[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\]
Rechteck mit den Punkten \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) für \(s > 0\) und dem Flächeninhalt \(R(s)\)
Einzeichnen des Rechtecks für \(s = 5\) in Abbildung 1
Punkte \((0|1)\), \((5|1)\), \((5|f(5))\) und \((0|f(5))\)
Rechteck für \(s = 5\)
Nachweis, dass \(R(s)\) für einen bestimmten Wert von \(s\) maximal ist
Als Erstes wird der Flächeninhalt \(R(s)\) formuliert. Die notwendige Bedingung für einen Extremwert von \(R(s)\) lautet \(R'(s) = 0\). Wechselt \(R'\) an der Nullstelle das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\), hat \(R(s)\) dort ein Maximum.
Anmerkung:
Der Nachweis eines Maximums von \(R(s)\) entspricht dem Nachweis eines Hochpunkts des Graphen einer gegebenen Funktion.
Rechteck mit Länge \(\textcolor{#cc071e}{s}\) und Breite \(\textcolor{#cc071e}{f(s) - 1}\)
Flächeninhalt \(R(s)\) bestimmen:
\[\begin{align*} R(s) &= \textcolor{#cc071e}{s} \cdot \textcolor{#cc071e}{(f(s) - 1)} \\[0.8em] &= s \cdot (1 + 7e^{-0{,}2s}) - 1) \\[0.8em] &= s \cdot 7e^{-0{,}2s} \\[0.8em] &= 7s \cdot e^{-0{,}2s} \end{align*}\]
Erste Ableitung \(R'\) bilden:
Der Funktionsterm \(R(s)\) lässt sich mithilfe der Faktorregel, der Produktregel, der Kettenregel sowie der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion und der Ableitung einer Potenzfunktion ableiten.
\[R(s) = \textcolor{#0087c1}{7s} \cdot \textcolor{#cc071e}{e^{-0{,}2s}}; \; s > 0\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[\begin{align*} R'(s) &= \underbrace{\textcolor{#0087c1}{7} \cdot \textcolor{#cc071e}{e^{-0{,}2s}} + \textcolor{#0087c1}{7s} \cdot \overbrace{\textcolor{#cc071e}{e^{-0{,}2s} \cdot (-0{,}2)}}^{\text{Kettenregel}}}_{\text{Produktregel}} \\[0.8em] &= 7e^{-0{,}2s} -1{,}4se^{-0{,}2s} &&| \; e^{-0{,}2s}\; \text{ausklammern (Faktorisieren)} \\[0.8em] &= \underbrace{e^{-0{,}2s}}_{>\,0} \cdot (7 - 1{,}4s)\end{align*}\]
Nullstelle von \(R'\) berechnen:
Da der Exponentialterm \(e^{-0{,}2s}\) stets positiv ist, bestimmt der Faktor \((7 - 1{,}4s)\) die Nullstelle von \(R'(s)\).
\[\begin{align*} R'(s) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 7 - 1{,}4s &= 0 &&| +1{,}4s \\[0.8em] 7 &= 1{,}4s &&| : 1{,}4 \\[0.8em] 5 &= s \end{align*}\]
Prüfen, ob an der Stelle \(s = 5\) ein Maximum von \(R(s)\) vorliegt.
1. Möglichkeit: Vorzeichentabelle von \(R'\)
Eine Umformung von \(R'(x)\) hilft, den Vorzeichenwechsel an der Stelle \(s = 5\) anschaulich zu dokumentieren.
\[\begin{align*}R'(s) &= \underbrace{e^{-0{,}2s}}_{>\,0} \cdot (7 - 1{,}4s) \\[0.8em] &= \underbrace{e^{-0{,}2s}}_{>\,0} \cdot 1{,}4 \cdot \textcolor{#cc071e}{(5 - s)} \end{align*}\]
Der Faktor \((7 - 1{,}4s)\) bzw. \(\textcolor{#cc071e}{(5 - s)}\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(R'\) an der Stelle \(s = 5\).
| \(s\) | \(\textcolor{#cc071e}{0 < s < 5}\) | \(5\) | \(\textcolor{#cc071e}{s > 5}\) |
| \(\textcolor{#cc071e}{(5 - s)}\) | \(\textcolor{#cc071e}{+}\) | \(0\) | \(\textcolor{#cc071e}{-}\) |
| \(R'(s)\) | \(+\) | \(\text{Maximum}\) | \(-\) |
Oder mithilfe von Testwerten:
\[\textcolor{#cc071e}{R'(4)} = \underbrace{e^{-0{,}2 \cdot 4}}_{>\,0} \cdot (\underbrace{7 - 1{,}4 \cdot 4}_{\textcolor{#cc071e}{>\,0}}) \textcolor{#cc071e}{> 0}\]
\[\textcolor{#cc071e}{R'(6)} = \underbrace{e^{-0{,}2 \cdot 6}}_{>\,0} \cdot (\underbrace{7 - 1{,}4 \cdot 6}_{\textcolor{#cc071e}{<\,0}}) \textcolor{#cc071e}{< 0}\]
Da \(\textcolor{#cc071e}{R'(5) = 0}\) gilt und zudem \(\textcolor{#cc071e}{R'}\) an der Stelle \(s = 5\) einen Vorzeichenwechsel von \(\textcolor{#cc071e}{+}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{-}\) hat, ist \(\textcolor{#cc071e}{R(5)}\) maximal.
2. Möglichkeit: halbgraphischer Nachweis des Vorzeichenwechsel von \(R'\)
\[R'(s) = \underbrace{e^{-0{,}2s}}_{>\,0} \cdot \textcolor{#cc071e}{(7 - 1{,}4s)}\]
Der lineare Faktor \(\textcolor{#cc071e}{(7 - 1{,}4s)}\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(R'\). Dieser Faktor kann durch die Gerade mit der Gleichung \(y = -1{,}4s + 7\) veranschaulicht werden. Es genügt eine qualitative Skizze unter Berücksichtigung der Punkte \((0|7)\) (\(y\)-Achsenabschnitt) und \((5|0)\) (vgl. Nullstelle \(s = 5\) von \(R'\)).
Da die Gerade mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{y = -1{,}4s + 7}\) an der Nullstelle \(s = 5\) von \(\textcolor{#cc071e}{+}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{-}\) verläuft, hat \(\textcolor{#cc071e}{R'}\) einen Vorzeichenwechsel von \(\textcolor{#cc071e}{+}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{-}\). Folglich ist \(\textcolor{#cc071e}{R(5)}\) maximal.
3. Möglichkeit: Nachweis des Maximums mithilfe von \(R''\)
Diese Möglichkeit sei der Vollständigkeit halber aufgeführt. Sie ist zeitaufwendiger und deshalb in diesem Fall nicht zu empfehlen.
Anwendung der Differentialrechnung:
Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).
Zweite Ableitung \(R''\) bilden:
Hierfür wird die Summenregel, die Faktorregel, die Produktregel und die Kettenregel sowie die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion und die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt.
\[R'(s) = \textcolor{#0087c1}{e^{-0{,}2s}} \cdot \textcolor{#cc071e}{(7 - 1{,}4s)}\]
\[\begin{align*} R''(s) &= \underbrace{\overbrace{\textcolor{#0087c1}{e^{-0{,}2s} \cdot (-0{,}2)}}^{\text{Kettenregel}} \cdot \textcolor{#cc071e}{(7 - 1{,}4s)} + \textcolor{#0087c1}{e^{-0{,}2s}} \cdot \textcolor{#cc071e}{(0 - 1{,}4)}}_{\text{Produktregel}} &&| \; e^{-0{,}2s}\;\text{ausklammern} \\[0.8em] &= e^{-0{,}2s} \cdot [(-0{,}2) \cdot (7 - 1{,}4s) - 1{,}4] \\[0.8em] &= e^{-0{,}2s} \cdot (-1{,}4 + 0{,}28s - 1{,}4) \\[0.8em] &= e^{-0{,}2s} \cdot (0{,}28 - 2{,}8) \end{align*}\]
Vorzeichen von \(R''\) an der Stelle \(s = 5\) ermitteln:
Anwendung der Differentialrechnung:
Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).
\[\textcolor{#cc071e}{R''(5)} = \underbrace{e^{-0{,}2 \cdot 5}}_{>\,0} \cdot \underbrace{(0{,}28 \cdot 5 - 2{,}8)}_{<\,0} \textcolor{#cc071e}{< 0}\]
\(\Longrightarrow \quad \textcolor{#cc071e}{R(5)}\) ist ein Maximum.
