Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\).

Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Spurpunkte einer Ebene, Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

 

Dreieck, das die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen sowie der Koordinatenursprung festlegen 

Planskizze: Die Schnittpunkte \(S_{x_{1}}\) und \(S_{x_{2}}\) der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse bzw. mit der \(x_{2}\)-Achse (Spurpunkte der Ebene \(E\)) bilden zusammen mit dem Koordinatenursprung das rechtwinklige Dreieck \(OS_{x_{1}}S_{x_{2}}\) mit den Katheten \([OS_{x_{1}}]\) und \([OS_{x_{2}}]\).

 

Koordinaten der Spurpunkte \(S_{x_{1}}\) und \(S_{x_{2}}\) berechnen:

 

\[E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\]

 

Der Spurpunkt \(S_{x_{1}}\) der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse hat die Koordinaten \(S_{x_{1}}(x_{1}|0|0)\).

 

\[\begin{align*}S_{x_{1}} \in E \colon 2x_{1} + 0 - 2 \cdot 0 &= -18 \\[0.8em] 2x_{1} &= -18 & &| : 2 \\[0.8em] x_{1} &= -9 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{x_{1}}(-9|0|0)\]

 

Der Spurpunkt \(S_{x_{2}}\) der Ebene \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse hat die Koordinaten \(S_{x_{2}}(0|x_{2}|0)\).

 

\[\begin{align*} S_{x_{2}} \in E \colon 2 \cdot 0 + x_{2} - 2 \cdot 0 &= -18 \\[0.8em] x_{2} &= -18 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{x_{2}}(0|-18|0)\]

 

Flächeninhalt \(A\) des Dreiecks \(OS_{x_{1}}S_{x_{2}}\) berechnen:

 

\[\begin{align*} A&= \frac{1}{2} \cdot \overline{OS_{x_{1}}} \cdot \overline{OS_{x_{2}}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{S_{x_{1}}} \vert \cdot \vert \overrightarrow{S_{x_{2}}}  \vert \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ -18 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-9)^{2} + 0^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + (-18)^{2} + 0^{2}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 18 \\[0.8em] &= 81 \end{align*}\]

 

Alternative: Flächeninhalt \(A\) mithilfe des Vektorprodukts berechnen:

Der Vollständigkeit halber sei diese hier eher umständliche Alternative erwähnt.

Vektorprodukt - Flächeninhalt eines Parallelogramms / Dreiecks

Anwendung des Vekorprodukts

Der Betrag des Vektorprodukts \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) entspricht der Maßzahl des Flächeninhalts eines von zwei Vektoren \(\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}\) und \(\overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}\) aufgespannten Parallelogramms.

\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \textcolor{#cc071e}{\vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi}}\]

Anwendung des Vektorprodukts: Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms bzw. eines Dreiecks

Flächeninhalt eines Parallelogramms

\[A = \vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert\]

Flächeninhalt eines Dreiecks

\[A = \frac{1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert\]

Vektorprodukt

Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) erzeugt einen neuen Vektor \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) mit den Eigenschaften:

\(\overrightarrow{c}\) ist sowohl zu \(\overrightarrow{a}\) als auch zu \(\overrightarrow{b}\) senkrecht.

\[\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a}, \enspace \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{b}\]

Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Rechtehandregel: Weist \(\overrightarrow{a}\) in Richtung des Daumens und \(\overrightarrow{b}\) in Richtung des Zeigefingers, dann weist \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) in Richtung des Mittelfingers.

Berechnung eines Vektorprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end {pmatrix}\]

\[\begin{align*} A&= \frac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{S_{x_{1}}} \times \overrightarrow{S_{x_{2}}} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -18 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 & \cdot & 0 & - & 0 & \cdot & (-18) \\ 0 & \cdot & 0 & - & (-9) & \cdot & 0 \\ (-9) & \cdot & (-18) & - & 0 & \cdot & 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 162 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 162^{2}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 162 \\[0.8em] &= 81 \end{align*}\]

 

Der Flächeninhalt des Dreiecks, das der Schnittpunkt der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt der Ebene \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung festlegen, beträgt 81 FE (Flächeneinheiten).