Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{-2;2\}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{6x}{x^{2} - 4}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet und ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
Geben Sie die Gleichungen aller senkrechter Asymptoten von \(G_{f}\) an. Begründen Sie, dass \(G_{f}\) die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote besitzt.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
\[f(x) = \frac{6x}{x^{2} - 4}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\}\]
Gleichungen aller senkrechter Asymptoten
Die Gleichungen der senkrechten Asymptoten von \(G_{f}\) lauten \(x = -2\) und \(x = 2\).
Begründung (nicht verlangt)
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}x^{\textcolor{#cc071e}{m}} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}x^{\textcolor{#0087c1}{n}} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.
Senkrechte Asymptoten
Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)
gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) ist senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\).
Waagrechte und schräge Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall
| \(\textcolor{#cc071e}{m} < \textcolor{#0087c1}{n}\): | die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n}\): | eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}}\), |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | eine schräge Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} > \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | keine waagrechte oder schräge Asymptote. |
\[f(x) = \frac{6x}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{x^{2} - 4}_{a^{2}\,-\,b^{2}}}} = \frac{6x}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{(x - 2)(x + 2)}_{(a\,-\,b)(a\,+\,b)}}}\]
Der Nenner der gebrochenrationalen Funktion \(f\) besitzt die einfachen Nullstellen \(\textcolor{#e9b509}{x = -2}\) und \(\textcolor{#e9b509}{x = 2}\), welche nicht zugleich Nullstellen des Zählers sind.
Die Funktion \(f\) hat damit die beiden nicht hebbaren Definitionslücken \(x = -2\) und \(x = 2\) (vgl. Angabe, Definitionsbereich). An diesen sog. Polstellen (mit Vorzeichenwechsel) gilt:
\[\lim_{x\,\to\, -2^{-}} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-2^{-}} \frac{\textcolor{#0087c1}{\overbrace{6x}^{\to \,-12}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\underbrace{x^{2}}_{\to\,4^{+}} - 4}_{\to\,0^{+}}}} = -\infty\]
\[\lim_{x\,\to\, -2^{+}} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-2^{+}} \frac{\textcolor{#0087c1}{\overbrace{6x}^{\to \,-12}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\underbrace{x^{2}}_{\to\,4^{-}} - 4}_{\to\,0^{-}}}} = +\infty\]
\(\Rightarrow\) Die Gerade mit der Gleichung \(x = -2\) ist senkrechte Asymptote von \(G_{f}\).
Und es gilt (auch wegen der Punktsymmetrie von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatenursprungs, vgl. Angabe):
\[\lim_{x\,\to\, 2^{-}} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,2^{-}} \frac{\textcolor{#0087c1}{\overbrace{6x}^{\to \,12}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\underbrace{x^{2}}_{\to\,4^{-}} - 4}_{\to\,0^{-}}}} = -\infty\]
\[\lim_{x\,\to\, 2^{+}} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,2^{+}} \frac{\textcolor{#0087c1}{\overbrace{6x}^{\to \,12}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\underbrace{x^{2}}_{\to\,4^{+}} - 4}_{\to\,0^{+}}}} = +\infty\]
\(\Rightarrow\) Die Gerade mit der Gleichung \(x = 2\) ist senkrechte Asymptote von \(G_{f}\).
Begründung, dass \(G_{f}\) die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote besitzt
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}x^{\textcolor{#cc071e}{m}} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}x^{\textcolor{#0087c1}{n}} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.
Senkrechte Asymptoten
Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)
gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) ist senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\).
Waagrechte und schräge Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall
| \(\textcolor{#cc071e}{m} < \textcolor{#0087c1}{n}\): | die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n}\): | eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{\textcolor{#cc071e}{a_{m}}}{\textcolor{#0087c1}{b_{n}}}\), |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | eine schräge Asymptote, |
| \(\textcolor{#cc071e}{m} > \textcolor{#0087c1}{n} + 1\): | keine waagrechte oder schräge Asymptote. |
1. Möglichkeit: Vergleich des Zähler- und Nennerpolynoms
\[f(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{\overbrace{6x}^{\text{Grad 1}}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{x^{2} - 4}_{\text{Grad 2}}}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\}\]
Da der Grad des Zählerpolynoms kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms, besitzt \(G_{f}\) die \(x\)-Achse (y = 0) als waagrechte Asymptote.
2. Möglichkeit: Grenzwertbetrachtung für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\)
\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \frac{6x}{\textcolor{#e9b509}{x^{2}} - 4} &&| \; \textcolor{#e9b509}{x^{2}} \; \text{ausklammern und kürzen} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \frac{\cancel{\textcolor{#e9b509}{x^{2}}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\overbrace{\frac{6}{x}}^{\to\,0}}}{\cancel{\textcolor{#e9b509}{x^{2}}} \cdot \underbrace{\Big(1 - \textcolor{#cc071e}{\underbrace{\frac{4}{x}}_{\to\,0}} \Big)}_{\to\,1}} &&| \; (x \neq 0) \\[0.8em] &= 0\end{align*}\]
\(\Rightarrow \enspace G_{f}\) hat die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) als waagrechte Asymptote.
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Bei gebrochenrationalen Funktionen bestimmen waagrechte oder schräge Asymptoten das Verhalten der Graphen im Unendlichen. Diese lassen sich mithilfe einer Grenzwertbetrachtung für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\) ermitteln.
Für eine aussagekräftige Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f(x)\) bzw. \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x)\), wird die höchste Potenz des Nennerpolynoms im Zähler und im Nenner ausgeklammert und gekürzt.
Im Sinne der Aufgabenstellung ist die zusammenfassende Grenzwertbetrachtung für \(x \to \pm\infty\) ausreichend (vgl. oben).
Eine getrennte Betrachtung der Grenzwerte \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f(x)\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}\) lässt erkennen, dass sich \(G_{f}\) für \(x \to -\infty\) im Negativen und für \(x \to +\infty\) im Positiven der \(x\)-Achse nähert. Diese Kenntnis ist für das Skizzieren von \(G_{f}\) in Teilaufgabe c von Vorteil.
\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{6x}{\textcolor{#e9b509}{x^{2}} - 4} &&| \; \textcolor{#e9b509}{x^{2}} \; \text{ausklammern und kürzen} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{\cancel{\textcolor{#e9b509}{x^{2}}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\overbrace{\frac{6}{x}}^{\to\,0^{-}}}}{\cancel{\textcolor{#e9b509}{x^{2}}} \cdot \underbrace{\Big(1 - \textcolor{#cc071e}{\underbrace{\frac{4}{x}}_{\to\,0^{-}}} \Big)}_{\to\,1}} &&| \; (x \neq 0) \\[0.8em] &= 0^{-}\end{align*}\]
Da \(G_{f}\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist (vgl. Angabe), gilt \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) = 0^{+}\).
\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{6x}{\textcolor{#e9b509}{x^{2}} - 4} &&| \; \textcolor{#e9b509}{x^{2}} \; \text{ausklammern und kürzen} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{\cancel{\textcolor{#e9b509}{x^{2}}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\overbrace{\frac{6}{x}}^{\to\,0^{+}}}}{\cancel{\textcolor{#e9b509}{x^{2}}} \cdot \underbrace{\Big(1 - \textcolor{#cc071e}{\underbrace{\frac{4}{x}}_{\to\,0^{+}}} \Big)}_{\to\,1}} &&| \; (x \neq 0) \\[0.8em] &= 0^{+}\end{align*}\]
\(\Rightarrow \enspace G_{f}\) hat die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) als waagrechte Asymptote.
