Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms von \(f\), dass \(\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f(x) = 0\) und \(\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x) = 2\) gilt.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
\[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\,; \quad D = \mathbb R\]
Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\)
Für eine deutliche Beurteilung des Grenzwertes \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x)\) wird der im Zähler und Nenner vorkommende Term \(e^x\) ausgeklammert und gekürzt.
\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{2e^x}{e^x + 9} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \, \frac{2e^x}{e^x(1 + 9e^{-x})} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \,\frac{2}{1 + 9\underbrace{e^{-x}}_{\to\,\infty}} = 0 \end{align*}\]
Verhalten von \(f\) für \(x \to +\infty\)
\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \, \frac{2\overbrace{e^x}^{\to\,+\infty}}{\underbrace{e^x}_{\to\,+\infty} + 9}\]
Die Grenzwertbetrachtung führt auf den unbestimmten Ausdruck \(\,\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\).
1. Lösungsansatz: Funktionsterm umformen (Term \(e^x\) ausklammern und kürzen)
\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty}\,\frac{2e^x}{e^x + 9} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \, \frac{2e^x}{e^x(1 + 9e^{-x})} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \,\frac{2}{1 + 9\underbrace{e^{-x}}_{\to\,0}} = 2 \end{align*}\]
2. Lösungsansatz: Regel von L'Hospital anwenden
Regel von L'Hospital
Führt der Grenzwert \(\,\displaystyle \lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f(x)}{g(x)}\,\) auf den unbestimmten Ausdruck \(\displaystyle \,\frac{0}{0}\,\) oder \(\displaystyle \,\frac{\infty}{\infty}\,\),
und existiert der Grenzwert \(\displaystyle \,\lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\,\), so gilt:
\[\lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x\,\to\,x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]
Die Regel kann anstelle \(\,x \to x_0\,\) auch für \(\,x \to \infty\,\) oder \(\,x \to -\infty\,\) angewendet werden.
Ableitung des Zählerterms und des Nennerterms bestimmen:
Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
\[f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\]
(vgl. Merkhilfe)
\[( 2e^x)' = 2e^x\]
\[( e^x + 9)' = e^x\]
Regel von L'Hospital anwenden:
\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty}\, \frac{2e^x}{e^x + 9} = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty}\, \frac{2e^x}{e^x} = 2\]
Anmerkung:
Die Regel von L'Hospital ist nicht im G8 Mathematik Lehrplan enthalten. Erfahrungsgemäß wird diese aber des Öfteren optional unterrichtet, um Grenzwertbetrachtungen von unbestimmten Ausdrücken der Form \(\dfrac{0}{0}\) oder \(\dfrac{\infty}{\infty}\) zu vertiefen.
