Abiturlösungen Mathematik Bayern 2018

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die Farben der Sektoren und die Größe der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden.

Tabelle Aufgabe 2 Stochastik 2 Mathematik Abitur Bayern 2018

Für einen Einsatz von 5 Euro darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm 10 Euro ausgezahlt. Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist \(\frac{1}{6}\). Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erzielt werden, ebenfalls \(\frac{1}{6}\) beträgt.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Entsprechend der Mittelpunktswinkel der Sektoren ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

 

Farbe Blau Rot Grün
Mittelpunktswinkel \(180^{\circ}\) \(120^{\circ}\) \(60^{\circ}\)
Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{180^{\circ}}{360^{\circ}} = \dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}} = \dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}} = \dfrac{1}{6}\)

 

Veranschaulichung des Ereignisses „drei verschiedene Farben" mithilfe eines Baumdiagramms (nicht verlangt!): 

Veranschaulichung des Ereignisses „drei verschieden Farben" mithilfe eines Baumdiagramms

 

Es gibt mehrere Möglichkeiten für die Reihenfolge der drei verschiedenen Farben. Für die erste Farbe gibt es drei, für die zweite Farbe zwei Möglichkeiten und für die dritte Farbe noch eine Möglichkeit. Somit lassen sich die drei verschiedenen Farben auf \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6\) verschiedene Arten anordnen.

Mithilfe der 1. Pfadregel ergibt sich:

Baumdiagramm - Pfadregeln

Pfadregeln

Verzweigungsregel (Knotenregel)

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins.

1. Pfadregel (Produktregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.

2. Pfadregel (Summenregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.

\[P(\text{„3 verschiedene Farben"}) = 3! \cdot \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{2}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{3}} \cdot \textcolor{#89c117}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{6}\]