Geben Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion \(f : x \mapsto 3\sqrt{x}\;\) an und bestimmen Sie den Term derjenigen Stammfunktion von \(f\), deren Graph den Punkt \((1|4)\) enthält.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2
Maximale Definitionsmenge von \(f\)
\[f(x) = 3\sqrt{x}\]
Der Wertebereich des Radikanden bestimmt den Definitionsbereich der Funktion \(f\).
\[x \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad D_f = \mathbb R^+_0\]
Term der Stammfunktion von \(f\), deren Graph den Punkt \((1|4)\) enthält
Stammfunktion einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{r + 1} \cdot x^{r + 1} + C\]
\[r \neq -1\]
\[\begin {align*} f(x) = 3 \sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}} \quad \Longrightarrow \quad F(x) &= 3 \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}\cdot x^{\frac{3}{2}} + C \\[0.8em] &= 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} + C \end {align*}\]
Die Bedingung, dass der Graph von \(F\) den Punkt \((1|4)\) enthalten soll, legt die Integrationskonstante \(C\) fest:
\[\begin {align*} F(1) \overset{!}{=} 4 \quad \Longrightarrow \quad 2 \cdot 1^{\frac{3}{2}} + C &= 4 \\[0.8em] 2 + C &= 4 \\[0.8em] C &= 2 \end {align*}\]
\[\Longrightarrow \quad F(x) = 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} + 2\]
