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Aufgabe 3d Analysis 2 Teil B 2016 - Abiturlösungen

Abiturlösungen Mathematik Bayern 2016

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade \(g\) mit der Gleichung \(y = -\frac{4}{3}x + 12\) modelliert.

Zeigen Sie, dass die Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) im Punkt \(R(4|f(4))\) parallel zu \(g\) verläuft. Zeichnen Sie \(g\) und \(t\) in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3d

 

Tangentensteigung, Parallelität zweier Geraden

 

\[g \colon y = -\frac{4}{3}x + 12\]

\[f(x) = \sqrt{25 - x^{2}}; \; D_{f} = [-5;5]\]

\[R(4|f(4))\]

 

Nachweis, dass die Tangente \(t\) parallel zu \(g\) verläuft

Die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(R(4|f(4))\) verläuft parallel zur Geraden \(g\), wenn die Tangentensteigung \(m_{t}\) gleich der Steigung \(m_{g}\) der Geraden \(g\) ist.

Parallelität / Orthogonalität von Geraden

Parallelität und Orthogonalität von Geraden

\[g_1 \colon \enspace y = m_1x + t_1 \,; \qquad g_2 \colon \enspace y = m_2x + t_2\]

Parallelität:

\[m_1 = m_2 \quad \Longleftrightarrow \quad g_1 \parallel g_2\]

Orthogonalität:

\[m_1 \cdot m_2 = -1 \quad \Longleftrightarrow \quad g_1 \perp g_2\]

\[m_{t} = m_{g}\]

 

\[g \colon y = -\frac{4}{3}x + 12 \quad \Longrightarrow \quad m_{g} = -\frac{4}{3}\]

 

Steigung \(m_{t}\) der Tangente \(t\):

Die Ableitungsfunktion \(f'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion \(f\).

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[m_{t} = f'(4)\]

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) kann mithilfe der Ableitung einer Wurzelfunktion bzw. der Ableitung einer Potenzfunktion sowie unter Berücksichtigung der Ketten- und der Summenregel gebildet werden.

Als Alternative formuliert man den Wurzelterm in der Porenschreibweise und leitet anschließend mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion sowie unter Berücksichtigung der Ketten- und der Summenregel ab. 

 

\[f(x) = \sqrt{25 - x^{2}}\]

Ableitungsregeln

Ableitung einer Wurzelfunktion

\[f(x) = \sqrt{g(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} \quad (g(x) \geq 0)\]

Kettenregel

\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

Summenregel

\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{-\cancel{2} \cdot x}{\cancel{2} \sqrt{25 - x^{2}}} \\[0.8em] &= -\frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}} \end{align*}\]

 

oder

 

\[\begin{align*}f(x) &= \sqrt{25 - x^{2}} & &| \; \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \\[0.8em] &= \left( 25 - x^{2} \right)^{\frac{1}{2}} \end{align*}\]

Ableitungregeln

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

Kettenregel

\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]

Summenregel

\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{2} \cdot \left( 25 - x^{2} \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) & &| \; a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}; \enspace a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \frac{-\cancel{2} \cdot x}{\cancel{2} \sqrt{25 - x^{2}}} \\[0.8em] &= -\frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}} \end{align*}\]

 

Tangentensteigung \(m_{t}\) berechnen:

 

\[f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}}\]

 

\[\begin{align*} m_{t} &= f'(4) \\[0.8em] &= - \frac{4}{\sqrt{25 - 4^{2}}} \\[0.8em] &= -\frac{4}{\sqrt{9}} \\[0.8em] &= -\frac{4}{3} \end{align*}\]

 

Steigungen \(m_{t}\) der Tangente \(t\) und \(m_{g}\) der Geraden \(g\) vergleichen:

 

\[m_{t} = -\frac{4}{3}; \enspace m_{g} = -\frac{4}{3}\]

 

\[\Longrightarrow \quad m_{t} = m_{g} \quad \Longrightarrow \quad t \parallel g\]

 

Einzeichen von \(g\) und \(t\) in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 3a

 

\[g \colon y = -\frac{4}{3}x + 12\]

\[f(x) = \sqrt{25 - x^{2}}; \; D_{f} = [-5;5]\]

\[R(4|f(4))\]

\[R \in t, \; t \parallel g\]

 

\[f(4) = \sqrt{25 - 4^{2}} = \sqrt{9} = 3\]

 

\[\Longrightarrow \quad R(4|3)\]

 

Graph der Funktion f, Gerade g und Tangente t an den Graphen der Funktion f in R(4|3) mit t || g

Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{25 - x^{2}}; \; D_{f} = [-5;5]\), Gerade \(g \colon y = -\frac{4}{3}x + 12\) und Tangente \(t\) an \(G_{f}\) in \(R(4|3)\) mit \(t \parallel g\)