Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 4b
In der nachfolgenden Beschreibung entspricht die Länge von zwei Kästchen des Koordinatengitters einer Längeneinheit (LE).
Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\) für \(x \to -\infty\)
Verlauf des Graphen von \(f\) und des Graphen einer Stammfunktion von \(f\) für \(x \to -\infty\)
Der Abbildung lässt sich das Grenzwertverhalten des Graphen von \(f\) für \(x \to -\infty\) entnehmen:
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)
Jede Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t)\, dt\) einer stetigen Funktion \(f\) ist eine Stammfunktion von \(f\).
\[I_{a}(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt \quad \Longrightarrow \quad I'_{a}(x) = f(x)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} F'(x) = +\infty\]
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
Folglich ist der Graph einer Stammfunktion von \(f\) für \(x \to -\infty\) streng monoton steigend.
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
Da \(G_f\) im dargestellten Bereich für \(x \to -\infty\) schnell gegen \(+\infty\) strebt, strebt die Steigung einer Tangente an eine Stammfunktion von \(f\) ebenfalls schnell gegen \(+\infty\). Somit verläuft der Graph einer Stammfunktion von \(f\) für \(x \to -\infty\) steil gegen \(-\infty\).
Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\) für \(a \leq x \leq b\)
Der Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\) für \(a \leq x \leq b\) wude bereits in Teilaufgabe 4a behandelt. Zur besseren Übersicht sei er an dieser Stelle wiederholt beschrieben.
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)
Jede Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t)\, dt\) einer stetigen Funktion \(f\) ist eine Stammfunktion von \(f\).
\[I_{a}(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt \quad \Longrightarrow \quad I'_{a}(x) = f(x)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[F'(x) = f(x)\]
\(G_f\) hat im Intervall \([a;b]\) eine einfache Nullstelle \(x_N \approx -3{,}4\) mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\). Somit ändert der Graph einer Stammfunktion \(F\) im Intervall \([a;b]\) das Monotonieverhalten von „streng monoton steigend" zu „streng monoton fallend" und besitzt an der Stelle \(x_N\) einen Hochpunkt \(HoP\,(x_N|F(x_N))\).
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\left. \begin{align*} &F'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x < x_{N} \\ &F'(x_{N}) = 0 \\ &F'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > x_{N} \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt} \; HoP\,(x_{N}|F(x_{N}))\]
Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\) in der Umgebung der Extremstelle von \(G_f\)
Verlauf des Graphen von \(f\) und des Graphen einer Stammfunktion von \(f\) in der Umgebung der Extremstelle von \(G_f\)
An der Stelle \(x_T \approx -2{,}3\) besitzt \(G_f\) einen Tiefpunkt \(TiP\,(-2{,}3|f(-2{,}3))\). Folglich hat der Graph einer Stammfunktion von \(f\) an dieser Stelle einen Wendepunkt \(W\,(-2{,}3|F(-2{,}3))\), in dem die Steigung des Graphen (Steigung der Wendetangente \(w\)) minimal ist.
Die Steigung der Wendetangente \(m_w\) lässt sich mithilfe der Abbildung abschätzen:
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[m_w = F'(-2{,}3) = f(-2{,}3) \approx -1{,}7\]
{zen-exclamation-circle}Wichtig:{/zen-exclamation-circle} Die Extremstellen des Graphen der Ableitung \(f'\) einer Funktion \(f\) sind immer die Wendestellen des Graphen einer Funktion \(f\). An den Wendestellen ist die Steigung des Graphen einer Funktion \(f\) (Steigung der Wendetangente) maximal oder minimal. Das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion \(f\) ändert sich an den Wendestellen.
Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\) für \(x \to +\infty\)
Verlauf des Graphen von \(f\) und des Graphen einer Stammfunktion von \(f\) für \(x \to +\infty\)
Der Abbildung lässt sich das Grenzwertverhalten des Graphen von \(f\) für \(x \to +\infty\) entnehmen:
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)
Jede Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t)\, dt\) einer stetigen Funktion \(f\) ist eine Stammfunktion von \(f\).
\[I_{a}(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt \quad \Longrightarrow \quad I'_{a}(x) = f(x)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F'(x) \approx -0{,}5\]
Für \(x \to +\infty\) nähert sich der Graph von \(f\) der waagrechten Asymptote \(y \approx -0{,}5\) an.
Somit folgt für den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\):
\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} -0{,}5x + t\]
Für \(x \to +\infty\) nähert sich der Graph einer Stammfunktion von \(f\) einer schrägen Asymptote \(y = -0{,}5x + t\) an.
Zusammenfassung und Skizze des Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich
Der Graph einer Stammfunktion von \(f\) ist für \(x \to -\infty\) streng monoton steigend und verläuft schnell gegen \(-\infty\).
Der Graph einer Stammfunktion von \(f\) besitzt an der Stelle \(x_N \approx -3{,}4\) einen Hochpunkt \(HoP\,(-3{,}4|F(-3{,}4))\).
Der Graph einer Stammfunktion von \(f\) besitzt an der Stelle \(x_T \approx -2{,}3\) einen Wendepunkt \(W\,(-2{,}3|F(-2{,}3))\). Steigung der Wendetangente: \(m_w \approx -1{,}7\).
Der Graph einer Stammfunktion von \(f\) nähert sich für \(x \to +\infty\) einer schrägen Asymptote \(y = -0{,}5x + t\) an.
Skizze des Graphen einer Stammfunktion von \(f\)
Anmerkung:
Die Abbildungen zeigen den Graphen \(G_F\) der Stammfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_0^x f(x)\,dx\). Die Menge aller Stammfunktionen von \(f\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int f(x)\,dx\). Die Stammfunktionen unterscheiden sich im Wert einer additiven Integrationskonstante \(C\), welche den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) in \(y\)-Richtung verschiebt. Somit lässt sich der Graph einer Stammfunktion von \(f\) beliebig in \(y\)-Richtung verschoben skizzieren, wobei der charakteristische Verlauf erhalten bleibt.
