Das Spiel wird fünfmal gespielt. Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3\) berechnet werden kann.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe b
Zum Beispiel: „Das Spiel wird zuerst zweimal gewonnen und danach dreimal verloren."
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
\[\left(\textcolor{#89ba17}{\frac{1}{4}}\right)^2 \cdot \left(\textcolor{#e9b509}{\frac{3}{4}}\right)^3\]
Aus Teilaufgabe \(a\) ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, das Spiel zu gewinnen, \(\textcolor{#89ba17}{\dfrac{1}{4}}\) beträgt. Dann ist \(\textcolor{#e9b509}{\dfrac{3}{4}}\) die Wahrscheinlichkeit dafür, das Spiel zu verlieren.
An den Exponenten von \(\left(\textcolor{#89ba17}{\dfrac{1}{4}}\right)^2\) und \(\left(\textcolor{#e9b509}{\dfrac{3}{4}}\right)^3\) ist zu erkennen, dass von den fünf Spielen zwei gewonnen und drei verloren werden.
\[\xcancel{\binom{5}{2}} \cdot \left(\textcolor{#89ba17}{\frac{1}{4}}\right)^2 \cdot \left(\textcolor{#e9b509}{\frac{3}{4}}\right)^3\]
Der Term enthält nicht den Binomialkoeffizienten \(\displaystyle \binom{5}{2}\) (wie bei der Binomialverteilung). Dieser würde die Anzahl aller Möglichkeiten berücksichtigt, dass zwei von fünf Spielen gewonnen werden. Deshalb wäre es falsch, das Ereignis „Von fünf Spielen wird genau zweimal gewonnen." anzugeben.
Stattdessen muss ein richtig formuliertes Ereignis eine Bedingung an die Reihenfolge von „Spiel wird gewonnen" und „Spiel wird verloren" nennen. Welche ist egal. Wichtig ist nur, dass zweimal gewonnen und dreimal verloren wird.
\[\textcolor{#89ba17}{\frac{1}{4}} \cdot \textcolor{#89ba17}{\frac{1}{4}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{3}{4}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{3}{4}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{3}{4}} = \left(\textcolor{#89ba17}{\frac{1}{4}}\right)^2 \cdot \left(\textcolor{#e9b509}{\frac{3}{4}}\right)^3\]
Ereignis: „Das Spiel wird zuerst zweimal gewonnen und danach dreimal verloren." oder „Genau die ersten beiden Spiele werden gewonnen."
\[\textcolor{#e9b509}{\frac{3}{4}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{3}{4}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{3}{4}} \cdot \textcolor{#89ba17}{\frac{1}{4}} \cdot \textcolor{#89ba17}{\frac{1}{4}} = \left(\textcolor{#89ba17}{\frac{1}{4}}\right)^2 \cdot \left(\textcolor{#e9b509}{\frac{3}{4}}\right)^3\]
Ereignis: „Das Spiel wird zuerst dreimal verloren und danach zweimal gewonnen." oder „Genau die letzen beiden Spiele werden gewonnen."
\[\textcolor{#89ba17}{\frac{1}{4}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{3}{4}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{3}{4}} \cdot \textcolor{#e9b509}{\frac{3}{4}} \cdot \textcolor{#89ba17}{\frac{1}{4}} = \left(\textcolor{#89ba17}{\frac{1}{4}}\right)^2 \cdot \left(\textcolor{#e9b509}{\frac{3}{4}}\right)^3\]
Ereignis: „Das erste und das letzte Spiel wird gewonnen und die anderen drei Spiele werden verloren." oder „Genau das erste und das letze Spiel wird gewonnen."
usw.
