Geben Sie einen Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h\) an, sodass der Term \(\sqrt{h(x)}\) genau für \(x \in [-2;4]\) definiert ist. Erläutern Sie die Ihrer Angabe zugrunde liegenden Überlegungen.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 4b
\(\sqrt{h(x)}\) mit \(x \in [-2;4]\) und \(D_h = \mathbb R\)
zum Beispiel: \(h(x) = -(x+2)(x-4)\)
Erläuterung der Überlegungen
Der Wert des Terms unter der Wurzel (Radikand) darf nicht negativ sein. Deshalb muss \(h(x) \geq 0\) für \(x \in [-2;4]\) gelten.
Maximale Definitionsmenge bestimmen
Gebrochenrationale Funktion / Quotient von Funktionen
\[x \mapsto \dfrac{Zähler(x)}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{Nenner(x)}_{\Large{\neq \, 0}}}}\]
Nullstelle(n) des Nenners ausschließen!
Wurzelfunktion
\[x \mapsto \sqrt{\mathstrut\smash{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{\geq\,0}}}}} \\ {}\]
Der Wert des Terms unter der Wurzel (Radikand ) darf nicht negativ sein!
(natürliche) Logarithmusfunktion
\(x \mapsto \ln{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\) bzw. \(x \mapsto \log_{a}{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\)
Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\textcolor{#e9b509}{\mathbb R^{+}}\) definiert!
Eine quadratische Funktion mit den Nullstellen \(\textcolor{#0087c1}{x = -2}\) und \(\textcolor{#0087c1}{x = 4}\), deren Parabel nach unten geöffneten ist (negativer Öffnungsfaktor, z.B. \(\textcolor{#cc071e}{-1}\)), erfüllt diese Bedingung.
Beispielsweise ist \(h(x) = \textcolor{#cc071e}{–}\,\textcolor{#0087c1}{(x+2)(x-4)}\) die Produktform einer solchen quadratischen Funktion.
Skizze optional
