Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an \(G_{g}\) im Schnittpunkt von \(G_{g}\) mit der \(x\)-Achse.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion
\(g(x) = \ln(2x + 3)\,; \enspace D = \; ]-\frac{3}{2}; +\infty[\)
Schnittpunkt von \(G_{g}\) mit der \(x\)-Achse (Nullstelle)
Nullstelle(n) einer Funktion bestimmen
Eine Nullstelle ist die \(x\)-Koordinate eines gemeinsamen Punktes des Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\).
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.
\(f(x) \cdot g(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\) oder \(g(x) = 0\)
Ein Quotient von Funktionen ist genau dann null, wenn die Zählerfunktion null ist.
\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\; (g(x) \neq 0)\)
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel, vgl. Merkhilfe)
\[\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x + \textcolor{#e9b509}{c} = 0 \enspace \Leftrightarrow \enspace x_{1,2} = \frac{-\textcolor{#0087c1}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{b}^2 - 4\textcolor{#cc071e}{a}\textcolor{#e9b509}{c}}}{2\textcolor{#cc071e}{a}}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
Folgende Fälle lassen sich einfacher durch Umformung lösen:
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x &= 0 &&| \; x\; \text{ausklammern (Produkt formulieren)} \\[0.8em] x \cdot (ax + b) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x = 0 \vee ax + b &= 0 \end{align*}\]
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#e9b509}{c} &= 0 &&| -c \enspace (c \neq 0) \\[0.8em] ax^2 &= -c &&| : a \\[0.8em] x^2 &= -\frac{c}{a} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{align*}\]
Zwei Lösungen, falls \(-\dfrac{c}{a} > 0\), keine Lösung, falls \(-\dfrac{c}{a} < 0\)
Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3:
vgl. Abiturskript - 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Nullstellen
Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{z(x)}}{n(x)}\) sind alle Nullstellen des Zählerpolynoms \(\textcolor{#0087c1}{z(x)}\), die nicht zugleich Nullstellen des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\) sind.
Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Zählerpolynoms \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine vollständig kürzbare Nullstelle des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt die gebrochenrationale Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.
(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)
Eine Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{\textcolor{#cc071e}{g(x)}}\) nimmt genau dann den Wert null an, wenn der Radikand (Term unter der Wurzel) null ist.
\[\sin{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]
\[\cos{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]
Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(\boldsymbol{x = 1}\).
\[\ln{\left( \textcolor{#0087c1}{f(x)} \right)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{f(x) = 1}\]
Die natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) sowie jede verkettete Funktion \(x \mapsto e^{f(x)}\) besitzt keine Nullstelle!
\[\begin{align*} \ln(2x + 3) &= 0 & &| \; \log_{a}{1} = 0 \\[0.8em] 2x + 3 &= 1 & &| - 3 \\[0.8em] 2x &= -2 & &| : 2 \\[0.8em] x &= -1 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad N\,(-1|0)\]
Gleichung der Tangente an \(G_{g}\) im Schnittpunkt von \(G_{g}\) mit der \(x\)-Achse
1. Lösungsansatz: Tangentengleichung
Gleichung einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\;(x_0|f(x_0)) \):
\[y = f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0})\]
\[T \, \colon \, y = g'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + g(x_{0})\]
\[x_{0} = -1\]
Erste Ableitung \(g'\) bilden:
Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
\[f(x) = \ln x \enspace (x > 0) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x}\]
Kettenregel
\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} g(x) = \ln(2x + 3) \quad \Longrightarrow \quad g'(x) &= \frac{1}{2x + 3} \cdot 2 \\[0.8em] &= \frac{2}{2x + 3} \end{align*}\]
\(g'(-1)\) und \(g(-1)\) berechnen:
\[g'(-1) = \frac{2}{2 \cdot (-1) + 3} = 2\]
\(g(-1) = 0\) (Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse, siehe oben)
\(x_{0} = -1\), \(g'(-1) = 2\) und \(g(-1) = 0\) in Tangentengleichung einsetzen:
\[\begin{align*} y &= g'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + g(x_{0}) \\[0.8em] &= 2 \cdot (x - (-1)) + 0 \\[0.8em] &= 2x + 2 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = 2x + 2\]
2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[T \,\colon\, y = m_{T} \cdot x + t\,; \enspace N\,(-1|0)\]
Tangentensteigung bestimmen:
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[m_{T} = g'(-1)\]
Erste Ableitung \(g'\) bilden:
Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
\[f(x) = \ln x \enspace (x > 0) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x}\]
Kettenregel
\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} g(x) = \ln(2x + 3) \quad \Longrightarrow \quad g'(x) &= \frac{1}{2x + 3} \cdot 2 \\[0.8em] &= \frac{2}{2x + 3} \end{align*}\]
\[g'(-1) = \frac{2}{2 \cdot (-1) + 3} = 2\]
\[\Longrightarrow \quad m_{T} = 2\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = 2x + t\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:
\[\begin{align*} N\,(-1|0) \in T \, \colon & & y &= 2x + t \\[0.8em] & & 0 &= 2 \cdot (-1) + t \\[0.8em] & & 0 &= -2 + t & &| + 2 \\[0.8em] & & 2 &= t \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = 2x + 2\]
Tangente \(T\) an \(G_{g}\) im Schnittpunkt von \(G_{g}\) mit der \(x\)-Achse
